設動點的坐標為（x、），且動點到定點，的距離之和為8.

   （I）求動點的軌跡的方程；

   （Ⅱ）過點作直線與曲線交于、兩點，若（為坐標原點），是否存在直線，使得四邊形為矩形，若存在,求出直線的方程，若不存在，請說明理由.

解：（I）由已知可得，動點的軌跡是到定點，的距離之和為8的橢圓.

      則曲線的方程是.   

   （Ⅱ）因為直線過點，若直線的斜率不存在，則的方程為，與橢圓的兩個交點、為橢圓的頂點.

       由，則與重合，與為四邊形矛盾.

       若直線的斜率存在，設方程為，，.

       由得.

       恒成立.

       由根與系數(shù)關系得：，.

       因為，所以四邊形為平行四邊形.

       若存在直線使四邊形為矩形，則.

       所以.

       所以.

       即.

       化簡得： . 與斜率存在矛盾.

       則不存在直線，使得四邊形為矩形.

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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f是直角坐標平面xOy到自身的一個映射，點P在映射f下的象為點Q，記作Q=f（P）．設P1（x1，y1），P2=f（P1），P3=f（P2），…，Pn=f（Pn-1），…．如果存在一個圓，使所有的點Pn（xn，yn）（n∈N*）都在這個圓內或圓上，那么稱這個圓為點Pn（xn，yn）的一個收斂圓．特別地，當P1=f（P1）時，則稱點P1為映射f下的不動點．若點P（x，y）在映射f下的象為點Q(-x+1，
12
y)．
（Ⅰ）求映射f下不動點的坐標；
（Ⅱ）若P1的坐標為（2，2），求證：點Pn（xn，yn）（n∈N*）存在一個半徑為2的收斂圓．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（α）=sinα+
3
cosα，其中，角α的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸非負半軸重合，終邊經(jīng)過點P（x，y），且0≤α≤π．
（1）若P點的坐標為（
3
，1），求f（α）的值；
（2）若點P（x，y）為平面區(qū)域
x+y≥1
y≥x
y≤1
上的一個動點，試確定角α的取值范圍，并求函數(shù)f（α）的最小值和最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f(α)=sinα+
3
cosα，其中，角α的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸非負半軸重合，終邊經(jīng)過點P（x，y），且0≤α≤π
（I）若P點的坐標為(-
3
，1)，求f（α）的值；
（II）若點P（x，y）為平面區(qū)域
x+y≥1
y≥x
y≤1
上的一個動點，試確定角α的取值范圍，并求函數(shù)f（α）的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設動點的坐標為（x、），向量，，且=8.

   （I）求動點的軌跡的方程；

   （Ⅱ）過點作直線與曲線交于、兩點，若（為坐標原點），是否存在直線，使得四邊形為矩形，若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由.

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