Question

過(guò)拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F作直線與此拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)|

OB

|≤|

FB

|時(shí)，直線AB傾斜角的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)B（m，n），則n²=2pm，（m＞0），求出焦點(diǎn)F的坐標(biāo)，運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離可得點(diǎn)B的橫坐標(biāo)m≤

p

4

，再求n的范圍，即可求出直線AB（即直線FB）的斜率的取值范圍，再由斜率的公式即可得到傾斜角的范圍．

解答： 解：設(shè)B（m，n），則n²=2pm，（m＞0），
又拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F為（

p

2

，0），
當(dāng)|

OB

|≤|

FB

|時(shí)，即有

m2+n2

≤

(m- p 2 )2+n2

，化簡(jiǎn)可得
點(diǎn)B的橫坐標(biāo)m≤

p

4

，此時(shí)n²≤

p2

2

，即-

2

2

p≤n≤

2

2

p，
故直線AB（即直線FB）的斜率

n-0

m- p 2

的取值范圍是[-2

2

，0）∪（0，2

2

]，
則有AB的傾斜角范圍為[π-arctan2

2

，π）∪（0，arctan2

2

]．
故答案為：[π-arctan2

2

，π）∪（0，arctan2

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的幾何性質(zhì)以及直線與拋物線的位置關(guān)系等知識(shí)，主要考查直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，屬于中檔題．