Question

已知正項數列{a_n}，其前n項和S_n，滿足6S_n=

a

2 n

+3a_n+2，又a₁，a₂，a₆是等比數列{b_n}的前三項．
（1）求數列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（2）記T_n=a₁b_n+a₂b_n-1+…+a_nb₁，n∈N₊，證明3T_n+1=2b_n+1-a_n+1（n∈N₊）．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）根據等比數列的通項公式，求出首項和公比，即可求出相應的通項公式．
（2）利用錯位相減法求出T_n，即得到得到結論．

解答： 解：（1）∵6S_n=

a

2 n

+3a_n+2，①
∴6a₁=

a

2 1

+3a₁+2，解得a₁=1或a₁=2．
又6S_n-1=

a

2 n-1

+3a_n-1+2（n≥2），②
由①-②，得6a_n=（

a

2 n

-

a

2 n-1

）+3（a_n-a_n-1），
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0．
∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=3（n≥2）．
當a₁=2時，a₂=5，a₆=17，此時a₁，a₂，a₆不成等比數列，∴a₁≠2；∴a_n=3n-2，b_n=4^n-1．
（2）由（1）得T_n=1×4^n-1+4×4^n-2+…+（3n-5）×4¹+（3n-2）×4⁰，③
∴4T_n=1×4ⁿ+4×4^n-1+7×4^n-2+…+（3n-2）×4¹．④
由④-③得3T_n=4ⁿ+3×（4^n-1+4^n-2+…+4¹）-（3n-2）=4ⁿ+

12×(1-4n-1)

1-4

-（3n-2）
=2×4ⁿ-（3n+1）-1=2b_n+1-a_n+1-1，
∴3T_n+1=2b_n+1-a_n+1，n∈N₊．

點評：本題主要考查數列通項公式和前n項和的計算，利用錯位相減法是解決本題的關鍵，考查學生的計算能力．