Question

函數(shù)y=2x-

4x-x2

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．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：將函數(shù)進(jìn)行三角換元，利用三角函數(shù)求最值即可．

解答： 解：∵y=2x-

4x-x2

=2x-

-(x-2)2+4

，由4x-x²≥0，得0≤x≤4，∴-2≤x-2≤2
令u=

-(x-2)2+4

，則u∈[0，2]，且u²+（x-2）²=4，令x-2=2cosθ，u=2sinθ，θ∈[0，π]
∴原函數(shù)可以化為y=4cosθ+4-2sinθ=2

5

（cosθ

2

5

+sinθ

1

5

）+4=2

5

cos（θ+∅）+4（θ∈[0，π]
其中sin∅=

1

5

，cos∅=

2

5

），當(dāng)θ=0時y取最大值，∴y_最大值=2

5

×

2

5

+4=8，當(dāng)θ+∅=π時，
y取最小值，y_最小值=2

5

（-1）+4=4-2

5

，∴y∈[4-2

5

，8]
故答案為：[4-2

5

，8]

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)值域，屬于基礎(chǔ)題．