Question

已知函數(shù)f（x）=x²-（1+2a）x+alnx（a為常數(shù)）．
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，求曲線y=f（x）在x=1處切線的方程；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，討論函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)性，并寫出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

解：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=x²+x-lnx，則
∴f（1）=2，f′（1）=2
∴曲線y=f（x）在x=1處切線的方程為y-2=2（x-1）
即y=2x；
（2）由題意得，
由f′（x）=0，得
①當(dāng)時(shí)，令f′（x）＞0，x＞0，可得0＜x＜a或；
令f′（x）＜0，x＞0，可得
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，a）和，單調(diào)減區(qū)間是；
②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)，f′（x）=0，
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上是單調(diào)增函數(shù)；
③當(dāng)時(shí)，令f′（x）＞0，x＞0，可得0＜x＜a或a＜x＜1；
令f′（x）＜0，x＞0，可得
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，）和（a，1），單調(diào)減區(qū)間是；
④當(dāng)a≥1時(shí)，令f′（x）＞0，x＞0，可得0＜x＜；
令f′（x）＜0，x＞0，可得
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，），單調(diào)減區(qū)間是．
分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，確定切線的斜率，從而可求曲線y=f（x）在x=1處切線的方程；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，求出函數(shù)的零點(diǎn)，再進(jìn)行分類討論，從而可確定函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間．
點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．