Question

已知橢圓C： (a＞b＞0)上任一點(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的和為2，P與橢圓長(zhǎng)軸兩頂點(diǎn)連線(xiàn)的斜率之積為－.設(shè)直線(xiàn)l過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F，交橢圓C于兩點(diǎn)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．

(1)若 (O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求|y₁－y₂|的值；

(2)當(dāng)直線(xiàn)l與兩坐標(biāo)軸都不垂直時(shí)，在x軸上是否總存在點(diǎn)Q，使得直線(xiàn)QA，QB的傾斜角互為補(bǔ)角？若存在，求出點(diǎn)Q坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

又S_△AOB＝|y₁－y₂|×1，故|y₁－y₂|＝4.(7分)

(2)假設(shè)存在一點(diǎn)Q(m,0)，使得直線(xiàn)QA，QB的傾斜角互為補(bǔ)角，

依題意可知直線(xiàn)l斜率存在且不為零，

直線(xiàn)l的方程為y＝k(x－1)(k≠0)，

由消去y得(3k²＋2)x²－6k²x＋3k²－6＝0，(9分)

設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，則

∵直線(xiàn)QA，QB的傾斜角互為補(bǔ)角，

∴k_QA＋k_QB＝0，

又y₁＝k(x₁－1)，y₂＝k(x₂－1)，

代入上式可得2x₁x₂＋2m－(m＋1)(x₁＋x₂)＝0，

即2m－6＝0，∴m＝3，

∴存在Q(3,0)使得直線(xiàn)QA，QB的傾斜角互為補(bǔ)角．(16分)