已知橢圓的焦點(diǎn)為
,
,且經(jīng)過點(diǎn)
.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)過的直線
與橢圓
交于
、
兩點(diǎn),問在橢圓
上是否存在一點(diǎn)
,使四邊形
為平行四邊形,若存在,求出直線
的方程,若不存在,請(qǐng)說明理由.
(Ⅰ)橢圓的方程為
;(Ⅱ)存在符合條件的直線
的方程為:
.
解析試題分析:(Ⅰ)已知橢圓的焦點(diǎn)為
,
,且經(jīng)過點(diǎn)
,求橢圓
的方程,顯然
,而
正好是過焦點(diǎn),且垂直于
軸的弦的端點(diǎn),故
,再由
,解出
即可;(Ⅱ)設(shè)過
的直線
與橢圓
交于
、
兩點(diǎn),問在橢圓
上是否存在一點(diǎn)
,使四邊形
為平行四邊形,若存在,求出直線
的方程,若不存在,請(qǐng)說明理由,此題是探索性命題,一般都是假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)
,根據(jù)題意,若能求出直線
的方程,就存在,若不能求出直線
的方程,就不存在,此題設(shè)直線
的方程為
,代入方程得
的中點(diǎn)為
, 由于四邊形
為平行四邊形,
與
的中點(diǎn)重合,得
點(diǎn)坐標(biāo),代入橢圓方程求出
的值,從而得存在符合條件的直線
的方程為:
.
試題解析:(Ⅰ) 3分
, 5分
橢圓
的方程為
7分
(Ⅱ)假設(shè)存在符合條件的點(diǎn),
設(shè)直線的方程為
8分
由得:
,
,
,
的中點(diǎn)為
10分
四邊形
為平行四邊形,
與
的中點(diǎn)重合,即:
13分
把點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓
的方程得:
解得 14分
存在符合條件的直線
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知拋物線,直線
與E交于A、B兩點(diǎn),且
,其中O為原點(diǎn).
(1)求拋物線E的方程;
(2)點(diǎn)C坐標(biāo)為,記直線CA、CB的斜率分別為
,證明:
為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,已知拋物線的焦點(diǎn)為F,過F的直線交拋物線于M、N兩點(diǎn),其準(zhǔn)線
與x軸交于K點(diǎn).
(1)求證:KF平分∠MKN;
(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線MO、NO分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)P、Q,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,過點(diǎn)的兩直線與拋物線
相切于A、B兩點(diǎn), AD、BC垂直于直線
,垂足分別為D、C.
(1)若,求矩形ABCD面積;
(2)若,求矩形ABCD面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知曲線上任意一點(diǎn)
到直線
的距離是它到點(diǎn)
距離的
倍;曲線
是以原點(diǎn)為頂點(diǎn),
為焦點(diǎn)的拋物線.
(Ⅰ)求,
的方程;
(Ⅱ)過作兩條互相垂直的直線
,其中
與
相交于點(diǎn)
,
與
相交于點(diǎn)
,求四邊形
面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,直線y=kx+b與橢圓交于A、B兩點(diǎn),記△AOB的面積為S.
(1)求在k=0,0<b<1的條件下,S的最大值;
(2)當(dāng)|AB|=2,S=1時(shí),求直線AB的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知拋物線與橢圓
有公共焦點(diǎn)
,且橢圓過點(diǎn)
.
(1)求橢圓方程;
(2)點(diǎn)、
是橢圓的上下頂點(diǎn),點(diǎn)
為右頂點(diǎn),記過點(diǎn)
、
、
的圓為⊙
,過點(diǎn)
作⊙
的切線
,求直線
的方程;
(3)過橢圓的上頂點(diǎn)作互相垂直的兩條直線分別交橢圓于另外一點(diǎn)、
,試問直線
是否經(jīng)過定點(diǎn),若是,求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不是,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3,最小值為1.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若直線l:與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)(A,B不是左右頂點(diǎn)),且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)。求證: 直線l過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為
,準(zhǔn)線為
,
,以
為圓心的圓
與
相切于點(diǎn)
,
的縱坐標(biāo)為
,
是圓
與
軸除
外的另一個(gè)交點(diǎn).
(I)求拋物線與圓
的方程;
(II)過且斜率為
的直線
與
交于
兩點(diǎn),求
的面積.
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