給定有限個(gè)正數(shù)滿足條件:每個(gè)數(shù)都不大于50且總和
=1275.現(xiàn)將這些數(shù)按下列要求進(jìn)行分組,每組數(shù)之和不大于150且分組的步驟是:
首先,從這些數(shù)中選擇這樣一些數(shù)構(gòu)成第一組,使得150與這組數(shù)之和的差與所有可能的其他選擇相比是最小的,
稱為第一組余差;
然后,在去掉已選入第一組的數(shù)后,對(duì)余下的數(shù)按第一組的選擇方式構(gòu)成第二組,這時(shí)的余差為;如此繼續(xù)構(gòu)成第三組(余差為
)、第四組(余差為
)、……,直至第
組(余差為
)把這些數(shù)全部分完為止.
(I)判斷的大小關(guān)系,并指出除第N組外的每組至少含有幾個(gè)數(shù)
(II)當(dāng)構(gòu)成第組后,指出余下的每個(gè)數(shù)與
的大小關(guān)系,并證明
;
(III)對(duì)任何滿足條件T的有限個(gè)正數(shù),證明:.
解:(I).除第N組外的每組至少含有
個(gè)數(shù).
(II)當(dāng)?shù)?i>n組形成后,因?yàn)?sub>,所以還有數(shù)沒(méi)分完,這時(shí)余下的每個(gè)數(shù)必大于余差
,余下數(shù)之和也大于第n組的余差
,即
,
由此可得.
因?yàn)?sub>,所以
.
(III)用反證法證明結(jié)論,假設(shè),即第11組形成后,還有數(shù)沒(méi)分完,由(I)和(II)可知,余下的每個(gè)數(shù)都大于第11組的余差
,且
,
故余下的每個(gè)數(shù) . (*)
因?yàn)榈?1組數(shù)中至少含有3個(gè)數(shù),所以第11組數(shù)之和大于,
此時(shí)第11組的余差,
這與(*)式中矛盾,所以
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
150n-L | n-1 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
首先,從這些數(shù)中選擇這樣一些數(shù)構(gòu)成第一組,使得150與這組數(shù)之和的差r1與所有可能的其他選擇相比是最小的,r1稱為第一組余差;?
然后,在去掉已選入第一組的數(shù)后,對(duì)余下的數(shù)按第一組的選擇方式構(gòu)成第二組,這時(shí)的余差為r2;如此繼續(xù)構(gòu)成第三組(余差為r3)、第四組(余差為r4)、…,直至第N組(余差為rn)把這些數(shù)全部分完為止.?
(1)判斷r1,r2,…,rn的大小關(guān)系,并指出除第N組外的每組至少含有幾個(gè)數(shù);?
(2)當(dāng)構(gòu)成第n(n<N)組后,指出余下的每個(gè)數(shù)與rn的大小關(guān)系,并證明
(3)對(duì)任何滿足條件T的有限個(gè)正數(shù),證明N≤11.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:北京高考真題 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
首先,從這些數(shù)中選擇這樣一些數(shù)構(gòu)成第一組,使得150與這組數(shù)之和的差r1與所有可能的其他選擇相比是最小的,r1稱為第一組余差;
然后,在去掉已選入第一組的數(shù)后,對(duì)余下的數(shù)按第一組的選擇方式構(gòu)成第二組,這時(shí)的余差為r2;如此繼續(xù)構(gòu)成第三組(余差為r3)、第四組(余差為r4)、…,直至第N組(余差為rN)把這些數(shù)全部分完為止.
(Ⅰ)判斷r1,r2,…,rN的大小關(guān)系,并指出除第N組外的每組至少含有幾個(gè)數(shù);
(Ⅱ)當(dāng)構(gòu)成第n(n<N)組后,指出余下的每個(gè)數(shù)與rn的大小關(guān)系,并證明rn-1>;
(Ⅲ)對(duì)任何滿足條件T的有限個(gè)正數(shù),證明:N≤11.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2004年北京市高考數(shù)學(xué)試卷(文科)(解析版) 題型:解答題
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