Question

如圖，在直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA₁＝2，E、E₁、F分別是棱AD、AA₁、AB的中點(diǎn)．

(1)證明：直線EE₁∥平面FCC₁；

(1)求二面角B－FC₁－C的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，取A1B1的中點(diǎn)F1， 　　連接A1D，C1F1，CF1，因?yàn)锳B＝4，CD＝2，且AB∥CD， 　　所以CDA1F1，A1F1CD為平行四邊形，所以CF1∥A1D， 　　又因?yàn)镋、E分別是棱AD、AA1的中點(diǎn)，所以EE1∥A1D， 　　所以CF1∥EE1，又因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/4881/0020/0cfe16deceeb958b1323be1b21c770b9/C/Image111.gif" width=45 height=24>平面FCC1，平面FCC1， 　　所以直線EE1∥平面FCC1． 　　(2)因?yàn)锳B＝4，BC＝CD＝2，F(xiàn)是棱AB的中點(diǎn)，所以BF＝BC＝CF，△BCF為正三角形，取CF的中點(diǎn)O，則OB⊥CF，又因?yàn)橹彼睦庵鵄BCD－A1B1C1D1中，CC1⊥平面ABCD，所以CC1⊥BO，所以O(shè)B⊥平面CC1F，過(guò)O在平面CC1F內(nèi)作OP⊥C1F，垂足為P，連接BP，則∠OPB為二面角B－FC1－C的一個(gè)平面角，在△BCF為正三角形中，，在Rt△CC1F中，△OPF∽△CC1F，∵　∴， 　　在Rt△OPF中，，，所以二面角B－FC1－C的余弦值為．