Question

數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若數(shù)列{a_n}的各項按如下規(guī)律排列：，，，，，，，，，，…，，，…，，…有如下運算和結(jié)論：
①；
②
③數(shù)列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…是等比數(shù)列
④數(shù)列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…的前n項和為；
⑤若存在正整數(shù)k，使S_k＜10，S_k+1＞10，則．
在后面橫線上填寫出所有你認(rèn)為正確運算結(jié)果或結(jié)論的序號________．

Answer 1

②④⑤
分析：根據(jù)數(shù)列的規(guī)律，分母為n時，所對應(yīng)的項數(shù)是（n-1）項．從分母是2開始到分母為n結(jié)束共有項
①前23項構(gòu)成的數(shù)列是：，，，，，，，，，，…，則第23項一目了然．
②易知：前11項構(gòu)成的數(shù)列是：，，，，，，，，，，，再求和便知正誤．
③數(shù)列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…實際上是，1，，2，…，再由數(shù)列定義判斷
④數(shù)列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…實際上是，1，，2，…，先判斷數(shù)列類型，再用求其前n項和．
⑤通過④的前n項和解不等式，確定k的值，從而再判斷終止的項．
解答：①前23項構(gòu)成的數(shù)列是：，，，，，，，，，，…
∴，故不正確；
②由數(shù)列可知：前11項構(gòu)成的數(shù)列是：，，，，，，，，，，
∴s₁₁=++++++++++=，故正確；
③數(shù)列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…是，1，，2，
由等差數(shù)列定義（常數(shù)），所以是等差數(shù)列，故不正確．
④∵數(shù)列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…是，1，，2，…．
由③知是等差數(shù)列，所以由等差數(shù)列前n項和公式可知：，故正確；
⑤由④知數(shù)列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，a₁₁+a₁₂+a₁₃+a₁₄+a₁₅，a₁₆+a₁₇+a₁₈+a₁₉+a₂₀+a₂₁，是，1，，2，
，++…+
∴T₅=7.5＜10，T₆=10.5＞10，∴，正確．
故答案為：②④⑤
點評：本題主要考查探究數(shù)列的規(guī)律，轉(zhuǎn)化數(shù)列，構(gòu)造數(shù)列來研究相應(yīng)數(shù)列通項和前n項和問題，這種題難度較大，必須從具體到一般地靜心研究，再推廣到一般得到結(jié)論．