Question

已知實數x、y滿足方程x²+y²-4x+1=0．求
（1）的最大值和最小值；
（2）y-x的最小值；
（3）x²+y²的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）整理方程可知，方程表示以點（2，0）為圓心，以為半徑的圓，設=k，進而根據圓心（2，0）到y=kx的距離為半徑時直線與圓相切，斜率取得最大、最小值．
（2）設y-x=b，僅當直線y=x+b與圓切于第四象限時，縱軸截距b取最小值．進而利用點到直線的距離求得y-x的最小值；
（3）x²+y²是圓上點與原點距離之平方，故連接OC，與圓交于B點，并延長交圓于C′，進而可知x²+y²的最大值和最小值分別為|OC′|和|OB|，答案可得．
解答：解：（1）如圖，方程x²+y²-4x+1=0表示以點（2，0）為圓心，以為半徑的圓．
設=k，即y=kx，由圓心（2，0）到y=kx的距離為半徑時直線與圓相切，
斜率取得最大、最小值．由=，
解得k²=3．
所以k_max=，k_min=-．
（2）設y-x=b，則y=x+b，僅當直線y=x+b與圓切于第四象限時，縱軸截距b取最小值．
由點到直線的距離公式，得=，即b=-2±，
故（y-x）_min=-2-．
（3）x²+y²是圓上點與原點距離之平方，故連接OC，與圓交于B點，并延長交圓于C′，可知B到原點的距離最近，點C′到原點的距離是大，此時有OB==2-，OC′==2+，
則（x²+y²）_max=|OC′|²=7+4，（x²+y²）_min=|OB|²=7-4．
點評：本題主要考查了圓的方程的綜合運用．考查了學生轉化和化歸的思想和數形結合的思想．