(Ⅰ)求二面角O1-BC-D的大�。�
(Ⅱ)求點(diǎn)E到平面O1BC的距離.
解法一:(Ⅰ)過(guò)AC、BD的交點(diǎn)O作OF⊥BC于F,連接O1F,
∵OO1⊥面AC,∴BC⊥O1F,
∴∠O1FO是二面角O1-BC-D的平面角,
∵OB=2,∠OBF=60°,∴OF=.
在Rt△O1OF中,tan∠O1FO=,
∴∠O1FO=60°即二面角O1—BC—D為60°
(Ⅱ)在△O1AC中,OE是△O1AC的中位線,
∴OE∥O1C,∴OE∥面O1BC,
∵BC⊥面O1OF,∴面O1BC⊥面O1OF,交線O1F.
過(guò)O作OH⊥O1F于H,則OH是點(diǎn)O到面O1BC的距離,
∴OH=.∴點(diǎn)E到面O1BC的距離等于
.
解法二:(Ⅰ)∵OO1⊥平面AC,
∴OO1⊥OA,OO1⊥OB,又OA⊥OB,
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系(如圖)
∵底面ABCD是邊長(zhǎng)為4,∠DAB=60°的菱形,
∴OA=2,OB=2,
則A(2,0,0),B(0,2,0),C(-2
,0,0),O1(0,0,3)
設(shè)平面O1BC的法向量為n1=(x,y,z),
則n1⊥,n1⊥
,
∴,則z=2,則x=
,y=3,
∴n1=(,3,2),而平面AC的法向量n2=(0,0,3)
∴cos<n1,n2>=,
設(shè)O1-BC-D的平面角為α,∴cosα=;∴α=60°.
故二面角O1-BC-D為60°.
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)E到平面O1BC的距離為d,
∵E是O1A的中點(diǎn),∴=(
,0,
),
則d=
∴點(diǎn)E到面O1BC的距離等于
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