如圖,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高為3,底面是邊長(zhǎng)為4且∠DAB=60°的菱形,A1C1∩B1D1=O1,E是O1A的中點(diǎn).

(Ⅰ)求二面角O1-BC-D的大�。�

(Ⅱ)求點(diǎn)E到平面O1BC的距離.

解法一:(Ⅰ)過(guò)AC、BD的交點(diǎn)O作OF⊥BC于F,連接O1F,

∵OO1⊥面AC,∴BC⊥O1F,

∴∠O1FO是二面角O1-BC-D的平面角,

∵OB=2,∠OBF=60°,∴OF=

在Rt△O1OF中,tan∠O1FO=

∴∠O1FO=60°即二面角O1—BC—D為60° 

(Ⅱ)在△O1AC中,OE是△O1AC的中位線,

∴OE∥O1C,∴OE∥面O1BC,

∵BC⊥面O1OF,∴面O1BC⊥面O1OF,交線O1F.

過(guò)O作OH⊥O1F于H,則OH是點(diǎn)O到面O1BC的距離,

∴OH=.∴點(diǎn)E到面O1BC的距離等于

解法二:(Ⅰ)∵OO1⊥平面AC,

∴OO1⊥OA,OO1⊥OB,又OA⊥OB,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系(如圖)

∵底面ABCD是邊長(zhǎng)為4,∠DAB=60°的菱形,

∴OA=2,OB=2,

則A(2,0,0),B(0,2,0),C(-2,0,0),O1(0,0,3)

設(shè)平面O1BC的法向量為n1=(x,y,z),

n1,n1

,則z=2,則x=,y=3,

n1=(,3,2),而平面AC的法向量n2=(0,0,3)  

∴cos<n1,n2>=,

設(shè)O1-BC-D的平面角為α,∴cosα=;∴α=60°.

故二面角O1-BC-D為60°.

(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)E到平面O1BC的距離為d,

∵E是O1A的中點(diǎn),∴=(,0,),

則d=

∴點(diǎn)E到面O1BC的距離等于

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(1)證明:BD⊥EF;
(2)當(dāng)CF=
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CC1時(shí),求面BEF與底面ABCD所成二面角的正弦值;
(3)多面體AE-BCFB1的體積V是否為常數(shù)?若是,求這個(gè)常數(shù),若不是,求V的取值范圍.

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(1)求證:無(wú)論E在任何位置,都有A1E⊥BD
(2)試確定點(diǎn)E的位置,使得A1-BD-E為直二面角,并說(shuō)明理由.
(3)試確定點(diǎn)E的位置,使得四面體A1-BDE體積最大.并求出體積的最大值.

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