已知函數(shù)f(x)同時(shí)滿足如下三個(gè)條件:①定義域?yàn)閇-1,1];②f(x)是偶函數(shù);③x∈[-1,0]時(shí),,其中a∈R.
(Ⅰ)求f(x)在[0,1]上的解析式,并求出函數(shù)f(x)的最大值;
(Ⅱ)當(dāng)a≠0,x∈[0,1]時(shí),函數(shù),若g(x)的圖象恒在直線y=e上方,求實(shí)數(shù)a的取值范圍(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),e=2.71828…).
【答案】分析:(Ⅰ)因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù),所以f(x)=f(-x).x∈[-1,0]時(shí),得到x∈[0,1]時(shí)得到f(x)的解析式,并討論a的取值利用二次函數(shù)求最值的方法求出最值即可;
(Ⅱ)化簡(jiǎn)g(x),要證g(x)的圖象恒在直線y=e上方即就是要證gmin(x)>e成立,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)增減性得到函數(shù)的最小值,讓其大于e,求出a的范圍即可.
解答:解:(Ⅰ)任取x∈[0,1],,
又f(x)是偶函數(shù),故x∈[0,1]時(shí),f(x)=f(-x)=e2x-aex
由f(x)是定義域?yàn)閇-1,1]的偶函數(shù)可知,f(x)在x∈[0,1]的最大值即可為f(x)的最大值.
當(dāng)x∈[0,1]時(shí),;;
綜上可知:
a≤e+1時(shí),fmax(x)=f(1)=e2-ae;a>e+1時(shí),fmax(x)=f(0)=1-a.
(Ⅱ)
==
要x∈[0,1]時(shí),函數(shù)g(x)的圖象恒在直線y=e上方,
即x∈[0,1]時(shí),gmin(x)>e成立,
g′(x)f'(x)=(x+a+3)(x-1)ex,令g′(x)=0,解得x1=-a-3,x2=1
①當(dāng)-a-3≤0,即a≥-3且a≠0時(shí),可得x∈[0,1]時(shí)g′(x)≤0,故g(x)在區(qū)間[0,1]單調(diào)遞減.
此時(shí)gmin(x)=g(1)=(-2-a)e>e⇒a<-3,與a≥-3且a≠0矛盾.
②當(dāng)0<-a-3<1,即-4<a<-3時(shí),可得x∈[0,-a-3]時(shí),g′(x)≥0,x∈[-a-3,1]時(shí)g′(x)≤0,可知f(x)在區(qū)間[0,-a-3]單調(diào)遞增.在區(qū)間[-a-3,1]單調(diào)遞減.
此時(shí)gmin(x)>e?g(0)>e,且g(1)>e,

故-4<a<-3時(shí)可滿足題意;
③-a-3≥1,即a≤-4時(shí),可得x∈[0,1]時(shí)g′(x)≥0,可知g(x)在區(qū)間[0,1]單調(diào)遞增.
此時(shí)
綜上可知:a<-3時(shí),g(x)的圖象恒在直線y=e上方.
點(diǎn)評(píng):考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的能力,以及單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用能力,理解不等式恒成立的條件.
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①f(x)是奇函數(shù);
②f(x)在定義域上單調(diào)遞減;
③f(1-a)+f(1-a2)<0.
求a的取值范圍.

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1
e2x
-
a
ex
,其中a∈R.
(Ⅰ)求f(x)在[0,1]上的解析式,并求出函數(shù)f(x)的最大值;
(Ⅱ)當(dāng)a≠0,x∈[0,1]時(shí),函數(shù)g(x)=(
x2
a
+x-2-
3
a
)[e2x-f(x)]
,若g(x)的圖象恒在直線y=e上方,求實(shí)數(shù)a的取值范圍(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),e=2.71828…).

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1
e2x
-
a
ex
,其中a∈R.
(Ⅰ)求f(x)在[0,1]上的解析式,并求出函數(shù)f(x)的最大值;
(Ⅱ)當(dāng)a≠0,x∈[0,1]時(shí),函數(shù)g(x)=(
x2
a
+x-2-
3
a
)[e2x-f(x)]
,若g(x)的圖象恒在直線y=e上方,求實(shí)數(shù)a的取值范圍(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),e=2.71828…).

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