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16.已知函數(shù)f(x)=lg(x+1),g(x)=lg(1-x).
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)+g(x)的定義域;
(Ⅱ)判斷函數(shù)f(x)+g(x)的奇偶性,并說明理由;
(Ⅲ)判斷函數(shù)f(x)+g(x)在區(qū)間(0,1)上的單調(diào)性,并加以證明.

分析 (Ⅰ)由{x+101x0 可得函數(shù)f(x)+g(x)的定義域;
(Ⅱ)根據(jù)F(-x)=F(x),可得:函數(shù)F (x)是偶函數(shù)
(Ⅲ)F(x)=f(x)+g(x)在區(qū)間(0,1)上是減函數(shù),作差可證明結(jié)論.

解答 (Ⅰ)解:要函數(shù)有意義,則{x+101x0 (2分)
∴-1<x<1,
即函數(shù)的定義域?yàn)椋?1,1)(4分)
(Ⅱ)解:令F(x)=f(x)+g(x)=lg(x+1)+lg(1-x)=lg(1-x2).
由(1)得函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱
又F(-x)=F(x),
∴函數(shù)F (x)是偶函數(shù).(6分)
(Ⅲ)解:F(x)=f(x)+g(x)在區(qū)間(0,1)上是減函數(shù),
理由如下:
設(shè)x1、x2∈(0,1),x1<x2,
1x121x220,即1x121x22>1,
∴F (x1)-F(x2)=lg(1-x12)-lg(1-x22)=lg1x121x22>0.
即F (x1)>F(x2
∴F(x)=f(x)+g(x)在區(qū)間(0,1)上是減函數(shù).(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的定義域,函數(shù)的奇偶性,函數(shù)的單調(diào)性,難度中檔.

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