Question

11．是否存在常數(shù)a，b，c使等式1•（n²-1）+2•（n²-2²）+…+n•（n²-n²）=n²（an²-b）+c對(duì)一切n∈N^*都成立？
并證明的結(jié)論．

Answer 1

分析 可假設(shè)存在常數(shù)a，b使等式1•（n²-1）+2•（n²-2²）+…+n•（n²-n²）=n²（an²-b）+c對(duì)于任意的n∈N₊總成立，令n=1與n=2，n=3列方程解得a，b，c再用數(shù)學(xué)歸納法證明．

解答 解：n=1時(shí)，a-b+c=0，
n=2時(shí)，16a-4b+c=3，
n=3時(shí)，81a-9b+c=18
解得 $a=\frac{1}{4}$$b=\frac{1}{4}$c=0，
證明（1）當(dāng)n=1是左邊=0，右邊=0 左邊=右邊，等式成立． 
（2）假設(shè)n=k時(shí)（k≥1，k∈N^*）等式成立，即$1•（{k^2}-1）+2•（{k^2}-{2^2}）+…+k•（{k^2}-{k^2}）=\frac{1}{4}{k^2}（{k^2}-1）$，
則當(dāng)n=k+1時(shí)1•[（k+1）²-1]+2•[（k+1）²-2²]+…+k•[（k+1）²-k²]+（k+1）[（k+1）²-（k+1）²]，
=1•（k²-1）+2•（k²-2²）+…+k•（k²-k²）+（1+2+…+k）（2k+1），
=$\frac{1}{4}{k^2}（{k^2}-1）+\frac{k（1+k）}{2}（2k+1）$，
=$\frac{1}{4}k（k+1）（{k^2}+3k+2）$
=$\frac{1}{4}k（k+1）（{k^2}+3k+2）$
=$\frac{1}{4}k{（k+1）^2}（k+2）$
所以當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立． 
綜上（1）（2）對(duì)于k≥1，k∈N^*所有正整數(shù)都成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)學(xué)歸納法，對(duì)于本題“是否存在”型的問(wèn)題，先假設(shè)存在，通過(guò)題意求得a、b，c的值，再用數(shù)學(xué)歸納法予以證明，難點(diǎn)在于n=k+1時(shí)，等式成立的證明，要用好歸納假設(shè)，屬于中檔題．