Question

【題目】如圖1，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=6，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)， ，O為BC的中點(diǎn)．將△ADE沿DE折起，得到如圖2所示的四棱椎A(chǔ)′﹣BCDE，其中A′O= ．

（1）證明：A′O⊥平面BCDE；
（2）求二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD，OE．

因?yàn)樵诘妊�直角三角形ABC中，∠B=∠C=45°， ，CO=BO=3．

在△COD中， ，同理得 ．

因?yàn)? ， ．

所以A′O2+OD2=A′D2，A′O2+OE2=A′E2．

所以∠A′OD=∠A′OE=90°

所以A′O⊥OD，A′O⊥OE，OD∩OE=O．

所以A′O⊥平面BCDE．

（2）方法一：

過(guò)點(diǎn)O作OF⊥CD的延長(zhǎng)線于F，連接A′F

因?yàn)锳′O⊥平面BCDE．

根據(jù)三垂線定理，有A′F⊥CD．

所以∠A′FO為二面角A′﹣CD﹣B的平面角．

在Rt△COF中， ．

在Rt△A′OF中， = ．

所以 ．

所以二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值為 ．

方法二：

取DE中點(diǎn)H，則OH⊥OB．

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OH、OB、OA′分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．

則O（0，0，0），A′（0，0， ），C（0，﹣3，0），D（1，﹣2，0） =（0，0， ）是平面BCDE的一個(gè)法向量．

設(shè)平面A′CD的法向量為n=（x，y，z） ， ．

所以 ，令x=1，則y=﹣1， ．

所以 是平面A′CD的一個(gè)法向量

設(shè)二面角A′﹣CD﹣B的平面角為θ，且

所以

所以二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值為

【解析】（1）連接OD，OE．在等腰直角三角形ABC中，∠B=∠C=45°， ，AD=AE= ，CO=BO=3．分別在△COD與△OBE中，利用余弦定理可得OD，OE．利用勾股定理的逆定理可證明∠A′OD=∠A′OE=90°，再利用線面垂直的判定定理即可證明；（2）方法一：過(guò)點(diǎn)O作OF⊥CD的延長(zhǎng)線于F，連接A′F．利用（1）可知：A′O⊥平面BCDE，根據(jù)三垂線定理得A′F⊥CD，所以∠A′FO為二面角A′﹣CD﹣B的平面角．在直角△OCF中，求出OF即可；方法二：取DE中點(diǎn)H，則OH⊥OB．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OH、OB、OA′分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．利用兩個(gè)平面的法向量的夾角即可得到二面角．
【考點(diǎn)精析】掌握直線與平面垂直的判定是解答本題的根本，需要知道一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．