Question

（2012•福建模擬）設函數f（x）的圖象是由函數g(x)=cos2x+

3

sinxcosx-

1

2

的圖象經下列兩個步驟變換得到：
（1）將函數g（x）的圖象向右平移

π

12

個單位，并將橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），得到函數h（x）的圖象；
（2）將函數h（x）的圖象上各點的縱坐標縮短為原來的m(0＜m＜

1

2

)倍（橫坐標不變），并將圖象向上平移1個單位，得到函數f（x）的圖象．
（Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）判斷方程f（x）=x的實根的個數，證明你的結論；
（Ⅲ）設數列{a_n}滿足a₁=0，a_n+1=f（a_n），試探究數列{a_n}的單調性，并加以證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二倍角三角函數公式，將g（x）化簡整理得g（x）=sin(2x+

π

6

)，再根據函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換的規(guī)律，結合題意可得變換后的f（x）的表達式；
（II）令F（x）=f（x）-x=msinx-x+1，通過計算F（0）和F（

π

2

），結合零點存在性定理，得F（x）=0在(0，

π

2

)至少有一個根，再根據導數討論F（x）的單調性，得F（x）在R上單調遞減，即可得到方程f（x）=x有且只有一個實根．
（III）根據f（x）表達式，計算a₁=0，a₂=1＞a₁，a₃=msin1+1＞a₂．由此猜測a_n＞a_n-1（n≥2），即數列{a_n}是單調遞增數列．再用數學歸納法進行證明，可得猜想的結論成立，即數列{a_n}是單調遞增函數．

解答：解：（Ⅰ）g(x)=cos2x+

3

sinxcosx-

1

2

=

1+cos2x

2

+

3

2

sin2x-

1

2

…（2分）
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x=sin(2x+

π

6

)…（3分）
∴函數g（x）的圖象向右平移

π

12

個單位，得g（x+

π

12

）=sin2x，
再將橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），得h（x）=sinx，…（4分）
再將函數h（x）的圖象上各點的縱坐標縮短為原來的m(0＜m＜

1

2

)倍（橫坐標不變），
并將圖象向上平移1個單位，得f（x）=msinx+1．…（5分）
（Ⅱ）方程f（x）=x有且只有一個實根．…（6分）
理由如下：
由（Ⅰ）知f（x）=msinx+1，令F（x）=f（x）-x=msinx-x+1，
因為F（0）=1＞0，結合0＜m＜

1

2

，得F(

π

2

)=m-

π

2

+1＜

3

2

-

π

2

＜0．
所以F（x）=0在(0，

π

2

)至少有一個根．…（7分）
又因為F′(x)=mcosx-1＜m-1＜-

1

2

＜0，
所以函數F（x）在R上單調遞減，
因此函數F（x）在R上有且只有一個零點，即方程f（x）=x有且只有一個實根．…（9分）
（Ⅲ）因為a₁=0，a_n+1=f（a_n）=msina_n+1，所以a₂=1＞a₁，
又a₃=msin1+1，因為0＜1＜

π

2

，所以0＜sin1＜1，所以a₃＞1=a₂．
由此猜測a_n＞a_n-1（n≥2），即數列{a_n}是單調遞增數列．…（11分）
以下用數學歸納法證明：n∈N，且n≥2時，a_n＞a_n-1≥0成立．
（1）當n=2時，a₂=1，a₁=0，顯然有a₂＞a₁≥0成立．
（2）假設n=k（k≥2）時，命題成立，即a_k＞a_k-1≥0（k≥2）．…（12分）
則n=k+1時，a_k+1=f（a_k）=msina_k+1，
因為0＜m＜

1

2

，所以ak=f(ak-1)=msinak-1+1＜m+1＜

1

2

+1＜

π

2

．
又sinx在(0，

π

2

)上單調遞增，0≤ak-1＜ak＜

π

2

，
所以sina_k＞sina_k-1≥0，所以msina_k+1＞msina_k-1+1，
即sina_k+1＞msina_k-1+1=f（a_k-1）=a_k≥0，
即n=k+1時，命題成立．…（13分）
綜合（1），（2），n∈N，且n≥2時，a_n＞a_n-1成立．
故數列{a_n}為單調遞增數列．…（14分）

點評：本題考查三角恒等變化、三角函數的圖象與性質、零點與方程的根、數學歸納法等基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查數形結合思想、函數與方程思想、特殊與一般等思想方法．