Question

有如下命題：
①若0＜a＜1，對(duì)任意x＜0，則a^x＞1；
②若函數(shù)y=log_a（x-1）+1的圖象過(guò)定點(diǎn)P（m，n），則log_mn=0；
③函數(shù)y=x^-1的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0）∪（0，+∞），
④函數(shù)y=2^x與y=log₂x互為反函數(shù)，
其中正確命題的個(gè)數(shù)為（　�。�

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷出①正確；根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)為1，不論底數(shù)為多少對(duì)數(shù)總為0，判斷出②正確；結(jié)合函數(shù)y=x^-1的圖象判斷出③不正確；據(jù)反函數(shù)的定義，判斷出④正確；

解答：解：對(duì)于①，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知，當(dāng)0＜a＜1，對(duì)?x＜0，有a^x＞1，故①正確；
對(duì)于②，函數(shù)y=log_a（x-1）+1的圖象恒過(guò)（2，1），所以m=2，n=1，所以log_mn=0，故②正確；
對(duì)于③，函數(shù)y=x^-1的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0）和（0，+∞），故③不正確；
對(duì)于④，因?yàn)楹瘮?shù)y=2^x與y=log₂x互為反函數(shù)，故④正確；
所以真命題的個(gè)數(shù)為3個(gè)；
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象恒過(guò)點(diǎn)（1，0）；考查反函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．