((本小題滿分12分)
在邊長為5的菱形ABCD中,AC=8。現(xiàn)沿對角線BD把△ABD折起,折起后使∠ADC的余弦值為

(I)求證:平面ABD⊥平面CBD;
(II)若M是AB的中點,求折起后AC與平面MCD所成角的一個三角函數(shù)值.
(Ⅰ)證明:菱形

中,記

交點為

,

,
翻折后變成三棱椎

,在△

中,


=

在△

中,

,
∴∠

=90°,即

⊥

,又

⊥

,

∩

=

,
∴

⊥平面

, ………………………4分
又


平面

,∴平面

⊥平面

.
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知

,

,

兩兩互相垂直,分別以

,

,

所在直線為坐標軸建系,
則

(0,0,4),

(0,-3,0),

(4,0,0) ,

(0,3,0) ,

(0,-

,2),

,

,…………………………………8分
設平面

的一個法向量為

,則由

,得

,…10分 令y=4,有

……10分
設

與平面

所成角為
θ,
∴

與平面

所成角的正弦值為

, …………………………………12分
練習冊系列答案
相關習題
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
如圖,直二面角D—AB—E中,四邊形ABCD是邊長為2的正方形,AE=EB,點F在CE上,且

平面ACE。

(I)求證:

平面BCE;
(II)求二面角B—AC—E的正弦值;
(III)求點D到平面ACE的距離。
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
在三棱柱
ABC-
A1B1C1中,側

面
AA1B1B是邊長為2的正方形,點
C在平面
AA1B1B上的射影
H恰好為
A1B的中點,且
CH=

,設
D為

中點,

(Ⅰ)求證:

平面

;
(Ⅱ)求

與平面

所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知某幾何體的正視圖、側視圖都是直角三角形,俯視圖是矩形(尺寸如圖所示).

(1)在所給提示圖中,作出該幾何體的直觀圖;
(2)求該幾何體的體積

.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分12分)
如圖:已知△PAB所在的平面與菱形ABCD所在的平面垂直,且PA=PB=

AB,∠ABC=60°,E為AB的中點.

(Ⅰ)證明:CE⊥PA;
(Ⅱ)若F為線段PD上的點,且EF與平面PEC的
夾角為45°,求平面EFC與平面PBC夾角的
余弦值.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
(12分)
如圖,已知四棱錐

的底面為矩形,

且

平面

分別為

的中點.

(Ⅰ)求證:

;
(Ⅱ)求二面角

的大小值.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分12分)
如圖,四邊形ABCD為正方形,四邊形BDEF為矩形,AB=2BF,E丄平面ABCD,G為EF中點.

(1)求證:CF//平面
(2) 求證:平面ASG丄平面CDG;
(3)求二面角C—FG—B的余弦值.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
(本題滿分12分)
如圖,在三棱錐

中,已知點

、

、

分別為棱

、

、

的中點.

(Ⅰ)求證:

∥平面

;
(Ⅱ

)若

,

,求證:

⊥

.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
( (本小題滿分12分)

在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA=AD=4,AB=2,
PB=2

,PD

=4

,E是PD的中點
(1)求證:AE⊥平面PCD;
(2)若F是線段BC的中點,求三棱錐F-ACE的體積。
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