Question

13．已知F₁、F₂分別為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，過F₂作垂直于x軸的直線交雙曲線于點P，且∠PF₁F₂=30°，求雙曲線的漸近線方程．

Answer 1

分析 求此雙曲線的漸近線方程即求$\frac{a}$的值，這和求雙曲線離心率是一樣的思路，只要在直角三角形PF₂F₁中由雙曲線定義找到a、b、c間的等式，再利用c²=a²+b²即可得$\frac{a}$的值

解答 解：在Rt△PF₂F₁中，設(shè)|PF₁|=d₁，|PF₂|=d₂，∵∠PF₁F₂=30°
∴$\left\{\begin{array}{l}{cyrc54q_{1}=2du1hoaz_{2}}\\{fdtjlfs_{1}-cx1mkig_{2}=2a}\end{array}\right.$∴d₂=2a
∵|F₂F₁|=2c
∴tan30°=$\frac{2a}{2c}$
∴$\frac{a}{c}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$\frac{{a}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$=$\frac{1}{3}$
∴（$\frac{a}$）²=2
∴$\frac{a}$=$\sqrt{2}$
∴雙曲線的漸近線方程為y=±$\sqrt{2}$x

點評 本題考查了雙曲線的定義及其幾何性質(zhì)，求雙曲線漸近線方程的思路和方法，恰當(dāng)利用幾何條件是解決本題的關(guān)鍵