解:(1)f(x)的定義域為(0,+∞),
∵f′(x)=

,
∴b=a-1,∴f′(x)=

,
當(dāng)f′(x)>0時,得-

,
∵x>0,a>0,解得0<x<1,
當(dāng)f′(x)<0時,得-

,∵x>0,a>0,解得x>1,
;∴當(dāng)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減;
(2)因A、B在

的圖象上,
∴

,
∴

,
∵

,
∴

,
假設(shè)k=f′(x
0),則得:

,
即

,
即

,令

,
∵

,
∴u(t)在(0,1)上是增函數(shù),∴u(t)<u(1)=0,
∴

,所以假設(shè)k=f′(x
0)不成立,
故f′(x
0)≠k.
分析:(1)根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義求得函數(shù)的定義域,根據(jù)f(x)的解析式求出f(x)的導(dǎo)函數(shù),利用f′(1)=0,代入導(dǎo)函數(shù)化簡即可得到a與b的關(guān)系式,用a表示出b;然后分別令導(dǎo)函數(shù)大于0和小于0得到關(guān)于x的不等式,求出不等式的解集即可得到相應(yīng)的x的范圍即分別為函數(shù)的遞增和遞減區(qū)間;
(2)因為A與B在函數(shù)圖象上,所以把A和B的坐標(biāo)分別代入函數(shù)解析式中得到關(guān)于兩點縱坐標(biāo)的兩個關(guān)系式,利用斜率的算法表示出斜率k,然后利用中點坐標(biāo)公式根據(jù)A和B的橫坐標(biāo)表示出中點G的橫坐標(biāo),并把求出的G橫坐標(biāo)的值代入導(dǎo)函數(shù),利用反證法證明,方法是:假設(shè)表示出的斜率k等于G的橫坐標(biāo)在導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值,化簡后令t=

,u(t)=lnt-

,求出u(t)的導(dǎo)函數(shù),判斷出導(dǎo)函數(shù)大于0得到u(t)為增函數(shù),得到u(t)小于0與題意矛盾,所以假設(shè)錯誤,故f′(x
0)≠k.
點評:此題考查學(xué)生會利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,靈活運用中點坐標(biāo)公式化簡求值,掌握反證法進(jìn)行命題證明的方法,是一道綜合題.