Question

已知二次不等式ax²+2x+b≤0的解集為{x|x=-

1

a

}，且a＞b，則

a-b

a2+b2

的取值范圍為

(0，

2

4

]

．

Answer 1

分析：根據(jù)二次不等式ax²+2x+b≤0的解集為{x|x=-

1

a

}，可得b=

1

a

，a＞0，利用a＞b，可知a＞1，從而

a-b

a2+b2

=

a- 1 a

a2+( 1 a )2

，利用換元法，再利用基本不等式，即可求得結(jié)論．

解答：解：由題意，二次不等式ax²+2x+b≤0的解集為{x|x=-

1

a

}，
∴a＞0，且a(x+

1

a

)2=0
∴b=

1

a

，a＞0
∵a＞b，∴a＞1
∴

a-b

a2+b2

=

a- 1 a

a2+( 1 a )2

令t=a-

1

a

，則t＞0
∴

a- 1 a

a2+( 1 a )2

=

t

t2+2

=

1

t+ 2 t

∵t＞0，∴t+

2

t

≤2

2

（當且僅當t=

2

時，取等號）
∴0＜

1

t+ 2 t

≤

2

4

∴0＜

a-b

a2+b2

≤

2

4

∴

a-b

a2+b2

的取值范圍為(0，

2

4

]
故答案為：(0，

2

4

]

點評：本題考查二次不等式的運用，考查基本不等式的運用，利用基本不等式求最值是解題的關(guān)鍵．