Question

已知[x）表示大于x的最小整數(shù)，例如[3）=4，[-1.3）=-1．下列命題：
①函數(shù)f（x）=[x）-x的值域是（0，1]；
②若{a_n}是等差數(shù)列，則{[a_n）}也是等差數(shù)列；
③若{a_n}是等比數(shù)列，則{[a_n）}也是等比數(shù)列；
④若x∈（1，2014），則方程[x）-x=

1

2

有2013個(gè)根．
其中正確的序號是

 

．（把你認(rèn)為正確的序號都填上）

Answer 1

考點(diǎn)：進(jìn)行簡單的合情推理

專題：推理和證明

分析：根據(jù)定義一一加以判斷：對①考慮當(dāng)x為整數(shù)和不為整數(shù)；對②可取特殊數(shù)列比如整數(shù)等差數(shù)列和非整數(shù)等差數(shù)列加以檢驗(yàn)；對③也取特殊數(shù)列驗(yàn)證；對④由定義通過列舉即可．

解答： 解：對①，當(dāng)x為整數(shù)時(shí)，[x）=x+1，即[x）-x=1，當(dāng)x不為整數(shù)時(shí)，0＜[x）-x＜1，
所以函數(shù)f（x）=[x）-x的 值域是（0，1]即①對；
對②，當(dāng)數(shù)列{a_n}是整數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列，則數(shù)列{[a_n）}也是等差數(shù)列；當(dāng){a_n}不是整數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列，則數(shù)列{[a_n）}不是等差數(shù)列．
例如：數(shù)列{a_n}：0.4，0.5，0.6，0.7，0.8，0.9，1.0，1.1；
那么數(shù)列{[a_n）}：1，1，1，1，1，1，2，2顯然不是等差數(shù)列．故②錯(cuò)；
對③，可取等比數(shù)列{a_n}：1，2，4，8，16；則數(shù)列{[a_n）}為：2，3，5，9，17顯然不是等比數(shù)列，故③錯(cuò)；
對④，因?yàn)閤∈（1，2014），方程[x）-x=

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2

，所以x可取1.5，2.5，3.5，4.5，…，2013.5總共有2013個(gè)根，故④對．
故答案為：①④．

點(diǎn)評：本題是一道新定義題，解題關(guān)鍵是理解定義，從而掌握定義，對有些命題可通過取特殊情況加以判斷，也可通過列舉法一一舉出來，注意不重不漏，本題是一道中檔題．