Question

已知函數y=G（x）的圖象過原點，其導函數為y=f（x），函數f（x）=3x²+2bx+c且滿足f（1-x）=f（1+x）．
（1）若f（x）≥0，對x∈[0，3]恒成立，求實數c的最小值．（2）設G（x）在x=t處取得極大值，記此極大值為g（t），求g（t）的值域．

Answer 1

分析：由題意知函數f（x）關于x=1對稱，從而可得b=-3，可知f（x）=3x²-6x+c
（1）由f（x）≥0對x∈[0，3]恒成立，得c≥6x-3x²對x∈[0，3]恒成立．構造函數g（x）=-3x²+6x，求該函數在區(qū)間[0，3]上的最大值，即c≥g（x）_max，即可求得c的最小值；
（2）由題意可得，G（x）=x³-3x²+cx，且f（t）=3t²-6t+c=0且t＜1，所以g（t）=t³-3t²+ct=t³-3t²+（6t-3t²）t，再對函數g（t）求導，利用導數求得函數的最值，即可得函數的值域．

解答：解：（1）∵f（1-x）=f（1+x），
∴y=f（x）的對稱軸為x=1，即-

b

3

=1，
∴b=-3，
∴f（x）=3x²-6x+c，
由f（x）≥0對x∈[0，3]恒成立，得c≥6x-3x²對x∈[0，3]恒成立，
設g（x）=-3x²+6x=-3（x²-2x），
∴g（x）_max=g（1）=-3×1²+6×1=3，
∴c≥3，
∴c的最小值為3．
（2）函數y=G（x）的圖象過原點，其導函數為y=f（x）=3x²-6x+c，
∴G（x）=x³-3x²+cx，
∵G（x）在x=t處取得極大值，
∴f（t）=3t²-6t+c=0且t＜1，∴c=（6t-3t²）t，
∴g（t）=t³-3t²+ct=t³-3t²+（6t-3t²）t，
即g（t）=-2t³+3t²，t∈（-∞，1），
∴g'（t）=-6t²+6t，
令g'（t）=0，得t=0或t=1
當t＜0時，g'（t）＜0，
當t＞0時g'（t）＞0，
∴當t=0時，g（t）_極小=g（0）=0
故g（t）的值域為[0，+∞）．

點評：本題考查了二次函數的解析式問題，涉及了二次函數的性質，同時考查了，同時考查了恒成立問題，解決恒成立問題的常用方法是轉化為函數最值，有時采取數形結合會簡化運算．屬于中檔題．