Question

設(shè)△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且滿足（2a+c）cosB+bcosC=0
（Ⅰ）求角B的大��；
（Ⅱ）若b=2

3

，試求

AB

•

BC

的最大值．

Answer 1

考點：余弦定理的應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運算,正弦定理

專題：計算題,解三角形

分析：（I）根據(jù)正弦定理與兩角和的正弦公式，化簡題中等式得到2sinAcosB+sin（B+C）=0，由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式得sin（B+C）=sinA＞0，代入前一個等式求得cosB=-

1

2

，結(jié)合B∈（0，π）可得B=

2π

3

．
（II）根據(jù)余弦定理b²=a²+c²-2accosB的式子，算出a²+c²-ac=12，再利用基本不等式求出：當(dāng)a=c時ac的最大值為4．由此結(jié)合數(shù)量積的公式加以計算，可得

AB

•

BC

的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵在△ABC中，（2a+c）cosB+bcosC=0
∴根據(jù)正弦定理，可得（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=0，即2sinAcosB+sin（B+C）=0
∵在△ABC中，sin（B+C）=sin（π-A）=sinA＞0
∴sinA（2cosB+1）=0，可得2cosB+1=0，即cosB=-

1

2

又∵B∈（0，π），∴B=

2π

3

．
（Ⅱ）∵B=

2π

3

，b=2

3

，
∴由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac=12，
又∵a²+c²≥2ac，∴12=a²+c²-ac≥ac．
由此可得：當(dāng)且僅當(dāng)a=c時，ac的最大值為4．
∵

AB

•

BC

=|

AB

|•|

BC

|cos（π-B）=accos

π

3

=

1

2

ac，
∴當(dāng)且僅當(dāng)a=c時，

AB

•

BC

的最大值為2．

點評：本題已知三角形ABC的邊角式，求角B的大小，并依此求向量數(shù)量積的最大值．著重考查了利用正余弦定理解三角形、向量的數(shù)量積公式與基本不等式等知識，屬于中檔題．