Question

【題目】如圖：在四棱錐E﹣ABCD中，CB=CD=CE=1，AB=AD=AE= ，EC⊥BD，底面四邊形是個圓內(nèi)接四邊形，且AC是圓的直徑．

（1）求證：平面BED⊥平面ABCD；
（2）點P是平面ABE內(nèi)一點，滿足DP∥平面BEC，求直線DP與平面ABE所成角的正弦值的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：連接AC，BD，交于點O，連接EO，

∵AD=AB，CD=CB∴AC⊥BD，

又∵EC⊥DB，EC∩AC=C，故DB⊥面AEC，從而 BD⊥OE，

又AC是直徑∴∠ADC=∠ABC=90°，

由AD= ，CD=1可解得，AO= ，則 ，故EO⊥AC；

故EO⊥平面ABCD，平面BED⊥平面ABCD．…

（2）取AE的中點M，AB的中點N，連接MN，ND，

則MN∥BE，且MN平面EBC，∴MN∥平面EBC；

而DN⊥AB，BC⊥AB，∴DN∥BC，且DN平面EBC，∴DN∥平面EBC．

綜上所述，平面DMN∥平面EBC，∴點P在線段MN上．

如圖建立空間直角坐標系，則A（ ，0，0），B（0， ，0），E（0，0， ），

=（﹣ ， ，0）， =（﹣ ，0， ），

設(shè)平面ABE法向量為 =（x，y，z），則

取 =（1， ， ），

設(shè) =λ ，可得 = + =（ ， ， img src="http://thumb.1010pic.com/questionBank/Upload/2018/02/23/23/7c5b8fc1/SYS201802232334452629765028_DA/SYS201802232334452629765028_DA.016.png" width="51" height="34" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" /> ），

設(shè)直線DP與平面ABE所成角為θ，則sinθ= ．

∵0≤λ≤1∴當λ=0時，sinθ的最大值為 ．

【解析】（1）由題意可推導(dǎo)出AC⊥BD從而 BD⊥OE，由此能證明直線EO⊥平面ABCD即可得證。（2）根據(jù)題意作出輔助線可得出點P在線段MN上建立空間直角坐標系，求出各個點的坐標進而也可求出各個向量的坐標再找出平面ABE的法向量，利用向量法求出即可。
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識，掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直，以及對空間角的異面直線所成的角的理解，了解已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．