Question

如果關(guān)于x的方程

|x|

x+4

=kx2有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　�。�

A．(0， 1 4 )

B．( 1 4 ，1)

C．（1，+∞）

D．( 1 4 ，+∞)

Answer 1

方程

|x|

x+4

=kx2①
（1）由方程的形式可以看出，x=0恒為方程①的一個(gè)解
（2）當(dāng)x＜0且x≠-2時(shí)方程①有解，則

-x

x+4

=kx2即kx²+4kx+1=0
當(dāng)k=0時(shí)，方程kx²+4kx+1=0無解；
當(dāng)k≠0時(shí)，△=16k²-4k≥0即k＜0或k≥

1

4

時(shí)，方程kx²+4kx+1=0有解．
設(shè)方程kx²+4kx+1=0的兩個(gè)根分別是x₁，x₂則x₁+x₂=-4，x₁x₂=

1

k

．
當(dāng)k＞

1

4

時(shí)，方程kx²+4kx+1=0有兩個(gè)不等的負(fù)根；
當(dāng)k=

1

4

時(shí)，方程kx²+4kx+1=0有兩個(gè)相等的負(fù)根；
當(dāng)k＜0時(shí)，方程kx²+4kx+1=0有一個(gè)負(fù)根．
（3）當(dāng)x＞0時(shí)，方程①有解，則

x

x+4

=kx2，kx²+4kx-1=0
當(dāng)k=0時(shí)，方程kx²+4kx-1=0無解；
當(dāng)k≠0時(shí)，△=16k²+4k≥0即k＞0或k≤-

1

4

時(shí)，方程kx²+4kx-1=0有解．
設(shè)方程kx²+4kx-1=0的兩個(gè)根分別是x₃，x₄
∴x₃+x₄=-4，x₃x₄=-

1

k

．
∴當(dāng)k＞0時(shí)，方程kx²+4kx-1=0有一個(gè)正根，
當(dāng)k≤-

1

4

時(shí)，方程kx²+4kx+1=0沒有正根
綜上可得，當(dāng)k∈（

1

4

，+∞）時(shí)，方程

|x|

x+4

=kx2有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)解．