Question

設f（x）=

a

x

+xlnx，g（x）=x³-x²-3．
（1）當x∈[0，2]時，求g（x）的最大值和最小值；
（2）如果對任意的s，t∈[

1

2

，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計算題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求導，由導數(shù)確定函數(shù)在[0，2]上的單調性，由單調性求最值；
（2）由（1）知，在區(qū)間[

1

2

，2]上，g_max（x）=g（2）=1；從而原問題等價于當x∈[

1

2

，2]時，f（x）=

a

x

+xlnx≥1恒成立，用分離系數(shù)法可得a≥x-x²lnx恒成立，從而轉化為求函數(shù)h（x）=x-x²lnx在區(qū)間[

1

2

，2]上的最大值，利用求導求單調性，再求最值即可．

解答： 解：（1）對于函數(shù)g（x）=x³-x²-3，x∈[0，2]，
g′（x）=3x²-2x，
令g′（x）=0，得x=0或x=

2

3

；
當x變化時，g（x）、g′（x）變化情況如下表：

x	0	（0， 2 3 ）	2 3	（ 2 3 ，2）	2
g′（x）	0	-	0	+	+
g（x）	-3	遞減	極（最）小值- 85 27	遞增	1

由上表可知：g_min（x）=-

85

27

，g_max（x）=g（2）=1，
（2）由（1）知，在區(qū)間[

1

2

，2]上，g_max（x）=g（2）=1．
則原問題等價于當x∈[

1

2

，2]時，f（x）=

a

x

+xlnx≥1恒成立，
等價于a≥x-x²lnx恒成立，
記h（x）=x-x²lnx，h′（x）=1-2xlnx-x，h′（1）=0；
記m（x）=1-2xlnx-x，m′（x）=-3-2lnx，
∵x∈[

1

2

，2]，
∴m′（x）=-3-2lnx＜0，
∴m（x）=1-2xlnx-x在[

1

2

，2]上遞減，
且當x∈[

1

2

，1）時，h′（x）＞0，x∈（1，2]時，h′（x）＜0，
即函數(shù)h（x）=x-x²lnx在區(qū)間[

1

2

，1）上遞增，在區(qū)間（1，2]上遞減，
∴h_max（x）=h（1）=1，
∴a≥1．

點評：本題考查了導數(shù)的綜合應用，同時考查了恒成立問題的處理方法，化簡比較困難，屬于難題．