Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²-2alnx+（a-2）x，a∈R．
（I）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)a＜0時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)a，對(duì)任意的x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁≠x₂有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞a恒成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出a=1時(shí)函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，求出切點(diǎn)和切線的斜率，由點(diǎn)斜式方程，即可得到切線方程；
（Ⅱ）對(duì)a討論：①當(dāng)a=-2，②-2＜a＜0時(shí)，③當(dāng)a＜-2時(shí)，令導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間；
（Ⅲ）假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)a滿足條件，不妨設(shè)x₁＜x₂．條件轉(zhuǎn)化為f（x₂）-ax₂＞f（x₁）-ax₁成立，令g（x）=f（x）-ax=

1

2

x²-2aln x-2x，則函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則g′（x）=x-

2a

x

-2≥0，即2a≤x²-2x=（x-1）²-1在（0，+∞）上恒成立．求出不等式右邊的最小值，令2a不大于它即可．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=

1

2

x²-2alnx+（a-2）x，
f′（x）=x-

2a

x

+（a-2）=

(x-2)(x+a)

x

（x＞0）
當(dāng)a=1時(shí)，f′（x）=

(x-2)(x+1)

x

，f′（1）=-2，
則所求的切線方程為：y-f（1）=-2（x-1），
即4x+2y-3=0；
（Ⅱ）①當(dāng)-a=2，即a=-2時(shí)，
f′（x）=

(x-2)2

x

≥0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
②當(dāng)-a＜2，即-2＜a＜0時(shí)，
由0＜x＜-a，或x＞2時(shí)，f′（x）＞0，-a＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0．
則f（x）在（0，-a），（2，+∞）單調(diào)遞增，在（-a，2）上單調(diào)遞減；
③當(dāng)-a＞2，即a＜-2時(shí)，
由0＜x＜2或x＞-a時(shí)，f′（x）＞0；2＜x＜-a時(shí)，f′（x）＜0，
f（x）在（0，2），（-a，+∞）上單調(diào)遞增，在（2，-a）上單調(diào)遞減；
（Ⅲ）假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)a滿足條件，不妨設(shè)x₁＜x₂．
由

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞a知f（x₂）-ax₂＞f（x₁）-ax₁成立，
令g（x）=f（x）-ax=

1

2

x²-2aln x-2x，
則函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
則g′（x）=x-

2a

x

-2≥0，
即2a≤x²-2x=（x-1）²-1在（0，+∞）上恒成立．，則a≤-

1

2

，
故存在這樣的實(shí)數(shù)a滿足題意，其范圍為（-∞，-

1

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間，同時(shí)考查構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性和最值，考查分類討論和參數(shù)分離的思想方法，屬于中檔題．