Question

如圖，四邊形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2．又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直線AM與直線PC所成的角為60°．

（1）求證：PC⊥AC；

（2）求二面角M﹣AC﹣B的余弦值；

（3）求點B到平面MAC的距離．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明過程詳見解析；（2）二面角的余弦值為；（3）.

【解析】

試題分析：本題考查空間兩條直線的位置關系、二面角、點到平面的距離等基礎知識，考查運用傳統(tǒng)幾何法，也可以運用空間向量法求解，突出考查空間想象能力和計算能力.第一問，根據(jù)線面平行的判定定理得到平面，所以垂直于面內的任意線；第二問，法一：先找出二面角的平面角，取的中點，因為，所以，由三垂線定理得，所以得到二面角的平面角為，由已知得，在中用余弦定理求，在、、、中求邊長，最后在中即是二面角的余弦值.法二：用向量法，建立空間直角坐標系，設出點坐標，因為直線與直線所成的角為，利用夾角公式，先得到點坐標，再求出平面的法向量，所以求與的夾角的余弦，并判斷夾角為銳角，所以余弦值為正值；第三問，先找線段的中點到平面的距離，利用線面垂直的判定定理，得到即是，用等面積法求，所以點到平面的距離是點到平面的距離的兩倍.

試題解析：方法1：（1）證明：∵，，∴平面，∴．（2分）

（2）取的中點，連．∵，∴，∴平面．

作，交的延長線于，連接．

由三垂線定理得，∴為二面角的平面角．

∵直線與直線所成的角為，

∴在中，．

在中，．

在中，．

在中，．

在中，∵，∴．

故二面角的余弦值為．（8分）

（3）作于．∵平面，∴，∴平面，

∴點到平面的距離為．

∵點是線段的中點，

∴點到平面的距離是點到平面的距離的兩倍為．（12分）

方法2：（1）證明：∵，，∴平面，∴．（2分）

（2）在平面內，過作的垂線，并建立空間直角坐標系如圖所示．

設，則．．

∵，

且，∴，得，∴．

設平面的一個法向量為，則由

得得∴．

平面的一個法向量為．．

顯然，二面角為銳二面角，∴二面角的余弦值為．（8分）

（3）點到平面的距離．（12分）

考點：1.線面垂直的判定定理；2.三垂線定理；3.余弦定理；4.向量法；5.夾角公式；6.等面積法.