Question

在長方形AA₁B₁B中，AB=2A₁=4，C，C₁分別是AB，A₁B₁的中點（如圖）．將此長方形沿CC₁對折，使平面AA₁C₁C⊥平面CC₁B₁B（如圖），已知D，E分別是A₁B₁，CC₁的中點．
（Ⅰ）求證：C₁D∥平面A₁BE；
（Ⅱ）求證：平面A₁BE⊥平面AA₁B₁B；
（Ⅲ）求三棱錐C₁-A₁BE的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）取A₁B的中點F，連接DF，EF，由三角形中位定理，結合E是CC₁的中點，可證得四邊形C₁EFD是平行四邊形，進而C₁D∥EF，由線面平行的判定定理得到C₁D∥平面A₁BE；
（Ⅱ）由CC₁⊥A₁C₁，CC₁⊥B₁C₁，可由線面垂直的判定定理得到CC₁⊥平面A₁C₁B₁．進而由線面垂直的第二判定定理得到BB₁⊥平面A₁C₁B₁，則BB₁⊥C₁D，由等腰三角形三線合一可得C₁D⊥A₁B₁，結合線面垂直的判定定理得到C₁D⊥平面AA₁B₁B，結合（I）中EF∥C₁D，可得EF⊥平面AA₁B₁B，最后由面面垂直的判定定理得到平面A₁BE⊥平面AA₁B₁B
（Ⅲ）由已知可證得BC⊥平面A₁EC₁，即BC為三棱錐C₁-A₁BE的以△A₁EC₁為底面時的高，求出高及底面面積，代入棱錐體積公式，可得答案．
解答：證明：（Ⅰ）取A₁B的中點F，連接DF，EF．（1分）
因為D，F(xiàn)分別是A₁B₁，A₁B的中點
所以DF是△A₁BB₁的中位線．（2分）
所以DF∥BB₁∥CC₁，且．
又因為E是CC₁的中點，
所以．
所以DF∥C₁E，且DF=C₁E．
所以四邊形C₁EFD是平行四邊形．（3分）
所以C₁D∥EF．
又EF?平面A₁BE，C₁D?平面A₁BE，（4分）
所以C₁D∥平面A₁BE．（5分）
（Ⅱ）因為CC₁⊥A₁C₁，CC₁⊥B₁C₁，且A₁C₁∩B₁C₁=C₁，
所以CC₁⊥平面A₁C₁B₁．
因為BB₁∥CC₁，所以BB₁⊥平面A₁C₁B₁．
因為C₁D?平面A₁C₁B₁，所以BB₁⊥C₁D．（6分）
又因為A₁C₁=C₁B₁，且D是A₁B₁的中點，所以C₁D⊥A₁B₁．（7分）
因為A₁B₁∩BB₁=B₁，所以C₁D⊥平面AA₁B₁B．（8分）
由（Ⅰ）知EF∥C₁D，
所以EF⊥平面AA₁B₁B．
又因為EF?平面A₁BE，
所以平面A₁BE⊥平面AA₁B₁B．（10分）
解：（Ⅲ）由已知，長方形AA₁B₁B沿CC₁對折后AC=BC=2，．
所以AB²=AC²+BC²．
所以BC⊥AC，且BC⊥CC₁，AC∩CC₁=C．
所以BC⊥平面AA₁C₁C．
即BC⊥平面A₁EC₁．（11分）
所以．（12分）
其中．
所以．（13分）
點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，棱錐的體積，直線與平面平行的判定，其中熟練掌握空間線面關系的定義，判定，性質(zhì)及相互轉(zhuǎn)化是解答此類問題的關鍵．