Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+x-1+3a（a∈R），
（1）若a=

1

3

，求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）a=

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，f（x）=ax²+x-1+3a=0可得

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x²+x=0，求出x，即可求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)；
（2）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x-1滿足條件；當(dāng)a≠0時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上有零點(diǎn)分為三種情況：①方程f（x）=0在區(qū)間[-1，1]上有重根，②若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，1]上只有一個(gè)零點(diǎn)，但不是f（x）=0的重根，分類討論求出滿足條件的a的范圍后，綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答： 解：（1）a=

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，f（x）=ax²+x-1+3a=0可得

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3

x²+x=0，所以x=0或-3，
即函數(shù)f（x）的零點(diǎn)是0或-3；
（2）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x-1，令f（x）=0，得x=1，是區(qū)間[-1，1]上的零點(diǎn)．
當(dāng)a≠0時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上有零點(diǎn)分為兩種情況：
①方程f（x）=0在區(qū)間[-1，1]上有重根，
令△=1-4a（-1+3a）=0，解得a=-

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6

或a=

1

2

．
當(dāng)a=-

1

6

時(shí)，令f（x）=0，得x=3，不是區(qū)間[-1，1]上的零點(diǎn)．
當(dāng)a=

1

2

時(shí)，令f（x）=0，得x=-1，是區(qū)間[-1，1]上的零點(diǎn)．
②若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，1]上只有一個(gè)零點(diǎn)，但不是f（x）=0的重根，
令f（1）f（-1）=4a（4a-2）≤0，解得0＜a≤

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2

．
綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[0，

1

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)與方程之間的關(guān)系，二次函數(shù)在給定區(qū)間上的零點(diǎn)問題，要注意函數(shù)圖象與x軸相切的情況，屬于中檔題．