Question

已知函數(shù)f（x）=

x2+2x+a

x

，x∈（1，+∞）．
（1）當a=0.5時，求函數(shù)的最小值；
（2）若對任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，試求a的取值范圍；
（3）若對任意x∈[1，+∞），f（x）＞a恒成立，試求a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）當a=0.5時，f′（x）=1-

1

2x2

，函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，由此能求出f（x）在[1，+∞）上的最小值．
（2）問題等價于f（x）=x²+2x+a＞0，在[1，+∞）上恒成立．即a＞-（x+1）²+1在[1，+∞）上恒成立．由此能求出實數(shù)a的取值范圍．
（3）問題等價于f（x）=x²+（2-a）x+a＞0，在[1，+∞）上恒成立，由此能求出實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）當a=0.5時，因為f（x）=

x2+2x+a

x

=x+

1

2x

+2，
f′（x）=1-

1

2x2

，當x∈[1，+∞）時，f′（x）＞0，
從而函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，
∴f（x）在[1，+∞）上的最小值為f（1）=

7

2

．
（2）問題等價于f（x）=x²+2x+a＞0，在[1，+∞）上恒成立．
即a＞-（x+1）²+1在[1，+∞）上恒成立．
令g（x）=-（x+1）²+1，則g（x）在[1，+∞）上遞減，
當x=1時，g（x）_max=-3，所以a＞-3，
∴實數(shù)a的取值范圍是（-3，+∞）．
（3）問題等價于f（x）=x²+（2-a）x+a＞0，在[1，+∞）上恒成立，
∴f（x）=x²+（2-a）x+a=（x-

2-a

2

）²+

8a-a2-4

4

＞0在[1，+∞）上恒成立，
∴8a-a²-4＞0，即a²-8a+4＜0，
解得4-2

3

＜a＜4+2

3

．
∴實數(shù)a的取值范圍是（4-2

3

，4+2

3

）．

點評：本題考查函數(shù)的最小值的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質(zhì)的合理運用．