Question

【題目】已知橢圓的一個焦點(diǎn)為，且在橢圓E上．

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知垂直于x軸的直線交E于A、B兩點(diǎn)，垂直于y軸的直線交E于C、D兩點(diǎn)，與的交點(diǎn)為P，且，間：是否存在兩定點(diǎn)M，N，使得為定值？若存在，求出M，N的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，兩定點(diǎn)，

【解析】

（1）利用焦點(diǎn)為，且在橢圓E上，利用橢圓定義，即得解;

（2）設(shè)出A，B，C，D坐標(biāo)，利用，得到P在雙曲線上，結(jié)合雙曲線定義，可得.

（1）由題意得，，橢圓的兩焦點(diǎn)為和，

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓C上，

所以根據(jù)橢圓定義可得：，

所以，所以，

所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）設(shè)，

則，

消去，得，

所以點(diǎn)P在雙曲線上，

因?yàn)?/span>T的兩個焦點(diǎn)為，實(shí)軸長為，

所以存在兩定點(diǎn)，

使得為定值．