Question

求函數的單調區(qū)間f（x）=-

1

3

ax³+x²+1（a≤0）．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：求函數的導數，根據函數的單調性和導數之間的關系即可得到結論．

解答： 解：當a=0時，函數f（x）=-

1

3

ax³+x²+1=x²+1，此時函數的單調增區(qū)間為（-∞，0），單調增區(qū)間為（0，+∞）．
當a＜0，函數的導數為f′（x）=-ax²+2x=-ax（x-

2

a

），
由f′（x）＞0得-ax（x-

2

a

）＞0，
即ax（x-

2

a

）＞0，解得x＞0或x＜

2

a

，此時函數單調遞增
由f′（x）＜0得-ax（x-

2

a

）＜0，
即ax（x-

2

a

）＜0，解得

2

a

＜x＜0，此時函數單調遞減，
綜上：當a=0時，函數的單調增區(qū)間為（-∞，0），單調增區(qū)間為（0，+∞）．
當a＜0時，函數的單調增區(qū)間為（-∞，

2

a

）和（0，+∞），單調增區(qū)間為（

2

a

，0）．

點評：本題主要考查函數單調區(qū)間的判斷，求函數的導數，利用函數單調性和導數之間的關系是解決本題的關鍵．注意要進行分類討論．