Question

【題目】已知數列{an}滿足an+2= ，且a1=1，a2=2．
（1）求a3﹣a6+a9﹣a12+a15的值；
（2）設數列{an}的前n項和為Sn ， 當Sn＞2017時，求n的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵an+2= ，且a1=1，a2=2．

∴a2n﹣1=1+2（n﹣1）=2n﹣1，a2n=2×3n﹣1，

∴a3﹣a6+a9﹣a12+a15=3a9﹣a6﹣a12=3×（2×9﹣1）﹣2×32﹣2×35=﹣477．

（2）解：由（1）可知：an＞0，數列{an}單調遞增．

S2n=（a1+a3+…+a2n﹣1）+（a2+a4+…+a2n）=n2+3n﹣1，

S12=62+36﹣1=764，S13=S12+a13=777，S14=72+37﹣1=2235．

∴當Sn＞2017時，n的最小值為14．

【解析】（1）an+2= ，且a1=1，a2=2．可得a2n﹣1=2n﹣1，a2n=2×3n﹣1 ， 即可得出：a3﹣a6+a9﹣a12+a15=3a9﹣a6﹣a12 ． （2）由（1）可知：an＞0，數列{an}單調遞增．可得S2n=（a1+a3+…+a2n﹣1）+（a2+a4+…+a2n）=n2+3n﹣1， 分別求出S12 ， S13 ， S14 ． 即可得出．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的前n項和的相關知識，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系，以及對數列的通項公式的理解，了解如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．