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設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+（1-m）x-1+2m-1-mx（m＞0）
（1）當x≥1時，若f（x）≤0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）證明：數(shù)學公式≥lnn（n∈N*且n≥2）．

解：（1）∵當x≥1時，f（1）=0，要使f（x）≤0恒成立，只要函數(shù)f（x）在x≥1是減函數(shù)即可，
故有f′（x）=--m≤0，∴m（1- ）≥-，∴m≥．
由x≥1可得≤，故當 m≥，f（x）≤0恒成立．故實數(shù)m的取值范圍為[，+∞）．
（2）證明：令m=，由（1）可得lnx，即lnx2
令，∴，
∴≥ln2-ln1+ln3-ln2+ln4-ln3+…+lnn-ln（n-1）=lnn（n∈N*且n≥2）
即≥lnn（n∈N*且n≥2）．即證．
分析：（1）當x≥1時，若f（x）≤0恒成立，只要函數(shù)f（x）是減函數(shù)即可，此時利用f′（x）＜0恒成立，從而得到m的范圍．
（2）令m=，得到不等式lnx，再令，得到，從而再求和即證．
點評：此題考查利用導(dǎo)數(shù)這個工具解決函數(shù)的單調(diào)性，及構(gòu)造函數(shù)法證明不等式．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=ln（x+a）+x2
（I）若當x=-1時，f（x）取得極值，求a的值，并討論f（x）的單調(diào)性；
（II）若f（x）存在極值，求a的取值范圍，并證明所有極值之和大于ln
e2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（Ⅰ）設(shè)函數(shù)f（x）=ln（1+x）-
2x
x+2
，證明：當x＞0時，f（x）＞0；
（Ⅱ）從編號1到100的100張卡片中每次隨機抽取一張，然后放回，用這種方式連續(xù)抽取20次，設(shè)抽得的20個號碼互不相同的概率為P．證明：P＜(
9
10
)19＜
1
e2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2009•楊浦區(qū)一模）設(shè)函數(shù)f（x）=ln（x2-x-6）的定義域為集合A，集合B={x|
5x+1
＞1}．請你寫出一個一元二次不等式，使它的解集為A∩B，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=ln（x+a）+x2(a＞
2
)，
（1）若a=
3
2
，解關(guān)于x不等式f(e
x
-
3
2
)＜ln2+
1
4
；
（2）證明：關(guān)于x的方程2x2+2ax+1=0有兩相異解，且f（m）和f（n）分別是函數(shù)f（x）的極小值和極大值（m，n為該方程兩根，且m＞n）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=ln（x+a）+2x2．
（1）若當x=-1時，f（x）取得極值，求a的值；
（2）在（1）的條件下，方程ln（x+a）+2x2-m=0恰好有三個零點，求m的取值范圍；
（3）當0＜a＜1時，解不等式f（2x-1）＜lna．

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