Question

已知橢圓C：( )的離心率為，點(diǎn)(1，)在橢圓C上.
（1）求橢圓C的方程；
（2）若橢圓C的兩條切線交于點(diǎn)M(4，)，其中，切點(diǎn)分別是A、B，試?yán)�用結(jié)論：在橢圓上的點(diǎn)()處的橢圓切線方程是，證明直線AB恒過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)；
（3）試探究的值是否恒為常數(shù)，若是，求出此常數(shù)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（1） ；（2）參考解析；（3）

試題分析：（1）由離心率為，點(diǎn)(1，)在橢圓C，根據(jù)橢圓方程的等量關(guān)系即可求出的值，即得到橢圓方程.
（2）由橢圓切線方程是，又因?yàn)榍悬c(diǎn)分別為A，B.所以帶入A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到兩條切線方程，又因?yàn)檫@兩條切線過(guò)點(diǎn)M，代入點(diǎn)M的坐標(biāo)，即可得經(jīng)過(guò)A，B的直線方程，根據(jù)右焦點(diǎn)的坐標(biāo)即可得到結(jié)論.
（3）由（2）可得直線AB的方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理，兩點(diǎn)的距離公式表達(dá)出，通過(guò)運(yùn)算即可得到結(jié)論.
（1）設(shè)橢圓C的方程為()
①
點(diǎn)(1，)在橢圓C上，②，
由①②得：
橢圓C的方程為，         4分
（2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，，則切線方程分別為，.
又兩條切線交于點(diǎn)M(4，)，即，
即點(diǎn)A、B的坐標(biāo)都適合方程，顯然對(duì)任意實(shí)數(shù)，點(diǎn)(1，0)都適合這個(gè)方程，
故直線AB恒過(guò)橢圓的右焦點(diǎn).            7分
（3）將直線的方程，代入橢圓方程，得
，即
所以，       10分
不妨設(shè)，，
同理
所以==
所以的值恒為常數(shù).       13分