精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
已知函數f(x)=
1
3
x3+
1
2
ax2+bx+c
有兩個極值點x1,x2,若f(x1)=x1,則關于x的方程f2(x)+af(x)+b=0的不同實根個數為( 。
分析:由題意可得x1、x2是f′(x)=x2+ax+b=0的兩個不相等的實數根,可得△=a2-4b>0,從而得到關于
x的方程f2(x)+af(x)+b=0有2個不等實數根,數形結合可得答案.
解答:解:∵函數f(x)=
1
3
x3+
1
2
ax2+bx+c

有兩個極值點x1,x2,不妨假設x1<x2,
∴f′(x)=x2+ax+b=0有兩個不相等的實數根,
∴△=a2-4b>0.
由于方程f2(x)+af(x)+b=0的判別式
△′=△=a2-4b>0,
故此方程有兩解為 f(x)=x1或f(x)=x2
由于函數y=f(x)的圖象和直線y=x1的交點個數
即為方程f(x)=x1 的解個數;
由于函數y=f(x)的圖象和直線y=x2 的交點個數,即為方程f(x)=x2的解個數.
根據f(x1)=x1,畫出圖形,如圖所示:
由于函數y=f(x)的圖象和直線y=x1的交點個數為2,函數y=f(x)的圖象和直線y=x2 的交點個數為1,
可得關于x的方程f(x)=x1或f(x)=x2共有3個不同的實數根,
即關于x的方程f2(x)+af(x)+b=0的不同實根個數為3.
故選 B.
點評:本題綜合考查了函數零點的概念,函數的極值及方程解得個數等基礎知識,考查了數形結合的思想方法、推理能力、分類討論的思想方法、計算能力、分析問題和解決問題的能力.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

(1)、已知函數f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
.若角α在第一象限且cosα=
3
5
,求f(α)

(2)函數f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx
的圖象按向量
m
=(
π
6
,-1)
平移后,得到一個函數g(x)的圖象,求g(x)的解析式.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=(1-
a
x
)ex
,若同時滿足條件:
①?x0∈(0,+∞),x0為f(x)的一個極大值點;
②?x∈(8,+∞),f(x)>0.
則實數a的取值范圍是( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=
1+lnx
x

(1)如果a>0,函數在區(qū)間(a,a+
1
2
)
上存在極值,求實數a的取值范圍;
(2)當x≥1時,不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立,求實數k的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=
1+
1
x
,(x>1)
x2+1,(-1≤x≤1)
2x+3,(x<-1)

(1)求f(
1
2
-1
)
與f(f(1))的值;
(2)若f(a)=
3
2
,求a的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

定義在D上的函數f(x)如果滿足:對任意x∈D,存在常數M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數,其中M稱為函數f(x)的上界.已知函數f(x)=
1-m•2x1+m•2x

(1)m=1時,求函數f(x)在(-∞,0)上的值域,并判斷f(x)在(-∞,0)上是否為有界函數,請說明理由;
(2)若函數f(x)在[0,1]上是以3為上界的有界函數,求m的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案