Question

如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體的對(duì)角線(xiàn)上任取一點(diǎn)P，以為球心，為半徑作一個(gè)球.設(shè)，記該球面與正方體表面的交線(xiàn)的長(zhǎng)度和為，則函數(shù)的圖象最有可能的是（      ）

A．                  B．                     C．                 D．

 

Answer 1

【答案】

B

【解析】

試題分析：當(dāng)，以為半徑的球面與正方體的側(cè)面、以及下底面均相交，且與側(cè)面、以及下底面的交線(xiàn)均為圓心角為的圓弧，

即，此時(shí)函數(shù)是關(guān)于自變量的正比例函數(shù)，排除選項(xiàng)、，當(dāng)時(shí)，側(cè)面、以及下底面內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)的最大距離為，此時(shí)球面與這三個(gè)面無(wú)交線(xiàn)，考慮球面與平面的交線(xiàn)，設(shè)球面與平面的交線(xiàn)是半徑為圓弧，在圓弧上任取一點(diǎn)，則，，易知，平面，由于平面，，由勾股定理得，則有，即球面與正方體的側(cè)面的交線(xiàn)為以為半徑，且圓心角為的圓弧，同理，球面與側(cè)面及底面的交線(xiàn)都是以為半徑，且圓心角為的圓弧，即，排除選項(xiàng)，故選項(xiàng)正確.

考點(diǎn)：立體幾何、函數(shù)