Question

如圖，當甲船位于A處時獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險等待營救、甲船立即前往救援，同時把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C處的乙船．
（Ⅰ）求處于C處的乙船和遇險漁船間的距離；
（Ⅱ）設(shè)乙船沿直線CB方向前往B處救援，其方向與

CA

成θ角，求f(x)=sin2θsinx+

3

4

cos2θcosx（x∈R）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在△ABC中，利用余弦定理可得．
（Ⅱ）在△ABC中，利用正弦定理可得sinθ，用平方關(guān)系求cosθ，再用asinθ+bcosθ=

a2+b2

sin（θ+φ）化為一個角的一個三角函數(shù)，可得值域．

解答：解：（Ⅰ）連接BC，由余弦定理得BC²=20²+10²-2×20×10cos120°=700
∴BC=10

7

（海里），
即處于C處的乙船和遇險漁船間的距離為10

7

海里．（5分）
（Ⅱ）∵

sinθ

20

=

sin120°

10 7

，∴sinθ=

3 7

∵θ是銳角，∴cosθ=

4 7

f(x)=sin2θsinx+

3

4

cos2θcosx=

3

7

sinx+

3

7

cosx=

2 3

7

sin(x+

π

6

)
∴f（x）的值域為[-

2 3

7

， 

2 3

7

] （13分）

點評：本題考查解三角形的實際應(yīng)用，用到正、余弦定理，正弦定理在解三角形時，用于下面兩種情況：一是知兩邊一對角，二是知兩角和一邊，余弦定理在解三角形中，用于下面兩種題型：知三邊解三角形；知兩邊及夾角解三角形，求三角函數(shù)的值域時，要化為一個角的一個三角函數(shù)來求．