m,n 是正整數,整式f(x)=(1+x)m+(1+x)n中x的 一次項的系數的和為17,
求:(1)f(x)中x2項的系數的最小值;
(2)對(1)中求相應的m,n的值,并求出x5的系數.
解:(1)∵m,n 是正整數,整式f(x)=(1+x)
m+(1+x)
n中x的 一次項的系數的和為17,
∴m+n=17,n=17-m,
∴f(x)=(1+x)
m+(1+x)
n中x
2項的系數為:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/51874.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/18484.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/51875.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/435.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
[m
2+(17-m)
2]-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/10698.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
×2(m
2-17m)+136=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/51876.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/51877.png)
,
∵m,n 是正整數,故當m=8或m=9時,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/51874.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/18484.png)
有最小值64;
(2)當m=8,n=9,x
5的系數為:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/51878.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/51879.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8717.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/9088.png)
=56+126=182,
當m=9,n=8,x
5的系數為:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/51879.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/51878.png)
=182.
分析:(1)m,n 是正整數,整式f(x)=(1+x)
m+(1+x)
n中x的 一次項的系數的和為17?m+n=17?n=17-m,f(x)=(1+x)
m+(1+x)
n中x
2項的系數為:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/51874.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/18484.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/51875.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/435.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
[m
2+(17-m)
2]-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/10698.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
×2(m
2-17m)+136通過配方可求得f(x)中x
2項的系數的最小值;
(2)由(1)可求得m=8,n=9或m=9,n=8,不妨令m=8,n=9,x
5的系數為:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/51878.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/51879.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8717.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/9088.png)
,其值可求.
點評:本題考查二項式定理的應用,關鍵在于正確理解題意,熟練應用組合數公式,著重考查配方法球最值,屬于中檔題.