已知函數fn(x)=(1+x)n-1,(n∈N*,且n>1).
(1)設函數h(x)=f3(x)-F2(x),x∈[-2,0],求h(x)的最大值和最小值.
(2)若x>-2求證:fn(x)≥nx.
【答案】
分析:(1)根據題意求出h(x)的導函數為0時x的值,然后當x∈[-2,0]時,分區(qū)間討論導函數的正負得到函數的增減區(qū)間,得到函數的最大值和最小值即可;
(2)令g(x)=f
n(x)-nx=(1+x)
n-1-nx.求出導函數,利用導數研究函數的增減性得到函數的最小值為g(0)=0,即可得證.
解答:解:(1)h(x)=f
3(x)-f
2(x)=x(1+x)
2,x∈[0,2]
∴h'(x)=(1+x)
2+2x(1+x)=(1+x)(1+3x),
令h'(x)=0,得x=-1或x=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103172954728963597/SYS201311031729547289635018_DA/0.png)
,
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∴h(x)在(-2,-1),(-
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,0)上單調遞增,在(-1,-
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)上單調遞減,過點(0,0).
∴x∈[-2.0]時,f(x)
max=f(-1)=f(10)=0.f(x)
min=f(-2)=-2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103172954728963597/SYS201311031729547289635018_DA/images4.png)
(2)令g(x)=f
n(x)-nx=(1+x)
n-1-nx.
則g'(x)=n(x+1)
n-1-n=n[(x+1)
n-1-1],
∴當-2<x<0時,g'(x)<0;當x>0時g'(x)>0.
∴g(x)在(-2,0)上單調遞減,在(0,+∞)上單調遞增.
∴當x=0時,g(x)
min=g(0)=0,即g(0)≥g(x)
min=0,
∴f
n(x)≥nx.
點評:考查學生利用導數研究函數極值的能力,以及用數形結合的數學思想解決問題的能力,是一道中等題.