18.設(shè)點F1、F2是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>0,b>0)的左、右焦點(O為坐標原點),以O(shè)為圓心,|F1F2|為直徑的圓交雙曲線于點M(第一象限).若過點M作x軸的垂線,垂足恰為線段OF2的中點,則雙曲線的離心率是( 。
A.$\sqrt{3}$-1B.$\sqrt{3}$C.$\sqrt{3}$+1D.2

分析 由題意M的坐標為M( $\frac{c}{2}$,$\frac{\sqrt{3}c}{2}$),代入雙曲線方程可得e的方程,即可求出雙曲線的離心率.

解答 解:由題意點F1、F2是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>0,b>0)的左、右焦點(O為坐標原點),以O(shè)為圓心,|F1F2|為直徑的圓交雙曲線于點M(第一象限).若過點M作x軸的垂線,垂足恰為線段OF2的中點,
△OMF2是正三角形,M的坐標為M( $\frac{c}{2}$,$\frac{\sqrt{3}c}{2}$),代入雙曲線方程可得$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}$-$\frac{3{c}^{2}}{4^{2}}$=1
∴e4-8e2+4=0,
∴e2=4+2$\sqrt{3}$
∴e=$\sqrt{3}$+1.
故選:C.

點評 本題考查雙曲線與圓的性質(zhì),考查學生的轉(zhuǎn)化思想以及計算能力,是中檔題.

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