(2012•三明模擬)(1)選修4-2:矩陣與變換
設(shè)矩陣M=
1a
b1

(I)若a=2,b=3,求矩陣M的逆矩陣M-1;
(II)若曲線C:x2+4xy+2y2=1在矩陣M的作用下變換成曲線C':x2-2y2=1,求a+b的值.
(2)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合,極軸與直角坐標(biāo)系中x軸的正半軸重合.圓C的參數(shù)方程為
x=1+2cosα
y=-1+2sinα
(α為參數(shù)),點(diǎn)Q極坐標(biāo)為(2,
4
)

(Ⅰ)化圓C的參數(shù)方程為極坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)若點(diǎn)P是圓C上的任意一點(diǎn),求P、Q兩點(diǎn)距離的最小值.
(3)選修4-5:不等式選講
設(shè)函數(shù)f(x)=|x+1|+|x-2|.
(Ⅰ)求y=f(x)的最小值;
(Ⅱ)若關(guān)于x的不等式f(x)≥4的解集為A,求集合A.
分析:(1)(I)設(shè)矩陣M的逆矩陣M-1=
x1y1
x2y2
,則MM-1=
10
01
,建立方程組,即可求得所求的逆矩陣;
(II)設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P(x,y),它在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下得到點(diǎn)P'(x',y'),可得
x+ay=x′
bx+y=y′
,利用點(diǎn)P'(x',y')在曲線C'上,可得曲線C的方程,根據(jù)已知曲線C的方程,比較系數(shù)可得結(jié)論;
(2)(I)先求圓C的普通方程,展開,再化為極坐標(biāo)方程;
(II)點(diǎn)Q的直角坐標(biāo)為(2,-2),且點(diǎn)Q在圓C內(nèi),求出|QC|=
2
,可得P,Q兩點(diǎn)距離的最小值;
(3)(I)利用絕對(duì)值的運(yùn)用,寫出分段函數(shù),從而可求y=f(x)的最小值;
(II)利用分段函數(shù),根據(jù)f(x)≥4,列出不等式,即可求得不等式f(x)≥4的解集.
解答:(1)(本小題滿分7分)選修4-2:矩陣與變換
解:(I)設(shè)矩陣M的逆矩陣M-1=
x1y1
x2y2
,則MM-1=
10
01
.又M=
12
31
,
所以
12
31
x1y1
x2y2
=
10
01
,所以x1+2x2=1,3x1+x2=0,y1+2y2=0,3y1+y2=1,
x1=-
1
5
y1=
2
5
,x2=
3
5
y2=-
1
5
,
故所求的逆矩陣M-1=
-
1
5
2
5
3
5
-
1
5
.…(4分)
(II)設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P(x,y),它在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下得到點(diǎn)P'(x',y'),則
1a
b1
x
y
=
x′
y′
,即
x+ay=x′
bx+y=y′
,…(5分)
又點(diǎn)P'(x',y')在曲線C'上,所以x'2-2y'2=1,則(x+ay)2-2(bx+y)2=1,
即(1-2b2)x2+(2a-4b)xy+(a2-2)y2=1為曲線C的方程,
又已知曲線C的方程為x2+4xy+2y2=1,
比較系數(shù)可得
1-2b2=1
2a-4b=4
a2-2=2
,解得b=0,a=2,∴a+b=2.…(7分)
(2)(本小題滿分7分)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
解:(I)圓C普通方程為(x-1)2+(y+1)2=4,
展開得x2+y2-2x+2y-2=0,…(2分)
化為極坐標(biāo)方程為ρ2-2ρcosθ+2ρsinθ-2=0.      …(4分)
(II)點(diǎn)Q的直角坐標(biāo)為(2,-2),且點(diǎn)Q在圓C內(nèi),
因?yàn)?span id="1161611" class="MathJye">|QC|=
2
,所以P,Q兩點(diǎn)距離的最小值為|PC|=2-
2
.    …(7分)
(3)(本小題滿分7分)選修4-5:不等式選講
解:(I)f(x)=
-2x+1,(x≤-1)
3,(-1<x<2)
2x-1,(x≥2)
所以y=f(x)的最小值為3.…(4分)
(II) 由(I)可知,當(dāng)x≤-1時(shí),f(x)≥4,即-2x+1≥4,此時(shí)x≤-
3
2
;
當(dāng)x≥2時(shí),f(x)≥4,即2x-1≥4,此時(shí)x≥
5
2

因此不等式f(x)≥4的解集為A為{|x≤-
3
2
x≥
5
2
}.      …(7分)
點(diǎn)評(píng):本題考查選修知識(shí),考查矩陣與變換,考查坐標(biāo)系與參數(shù)方程,考查不等式選講,綜合性強(qiáng).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•三明模擬)某食品廠對(duì)生產(chǎn)的某種食品按行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)分成五個(gè)不同等級(jí),等級(jí)系數(shù)X依次為A,B,C,D,E.現(xiàn)從該種食品中隨機(jī)抽取20件樣品進(jìn)行檢驗(yàn),對(duì)其等級(jí)系數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,得到頻率分布表如下:
X A B C D E
頻率 a 0.2 0.45 b c
(Ⅰ)在所抽取的20件樣品中,等級(jí)系數(shù)為D的恰有3件,等級(jí)系數(shù)為E的恰有2件,求a,b,c的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,將等級(jí)系數(shù)為D的3件樣品記為x1,x2,x3,等級(jí)系數(shù)為E的2件樣品記為y1,y2,現(xiàn)從x1,x2,x3,y1,y2這5件樣品中一次性任取兩件(假定每件樣品被取出的可能性相同),試寫出所有可能的結(jié)果,并求取出的兩件樣品是同一等級(jí)的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•三明模擬)已知集合M={x|-1≤x≤1},N={0,1,2},則M∩N為( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•三明模擬)已知正實(shí)數(shù)a,b滿足不等式ab+1<a+b,則函數(shù)f(x)=loga(x+b)的圖象可能為( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•三明模擬)已知函數(shù)f(x)=x(x-a)2,a是大于零的常數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),求f(x)的極值;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上為單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)證明:曲線y=f(x)上存在一點(diǎn)P,使得曲線y=f(x)上總有兩點(diǎn)M,N,且
MP
=
PN
成立.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•三明模擬)若a∈[0,3],則函數(shù)f(x)=x2-2ax+a有零點(diǎn)的概率為
2
3
2
3

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案