定義F(x,y)=(1+x)y,x,y∈(0,+∞),
(Ⅰ)令函數(shù)f(x)=F(3,log2(2x-x2+4)),寫出函數(shù)f(x)的定義域;
(Ⅱ)令函數(shù)g(x)=F(1,log2(x3+ax2+bx+1))的圖象為曲線C,若存在實數(shù)b使得曲線C在x0(-4<x0<-1)處有斜率為-8的切線,求實數(shù)a的取值范圍
(Ⅲ)當x,y∈N*且x<y時,求證F(x,y)>F(y,x).
分析:(I)依據(jù)F(x,y)的定義,令log2(2x-x2+4)>0,即可求得f(x)的定義域;
(II)利用題中的定義確定出g(x)的解析式,求出g(x)的導(dǎo)函數(shù),把x=x0代入導(dǎo)函數(shù)求出的導(dǎo)函數(shù)值即為-8,列出一個關(guān)系式,記作①,把-4<x0<-1記作②,
由log2(x3+ax2+bx+1)>0,把x=x0代入得到一個不等式,記作③,由①②③即可得到a的取值范圍.
(III)令h(x)
ln(1+x)
x
,求出h(x)的導(dǎo)函數(shù),由分母大于0,令分子等于p(x),求出p(x)的導(dǎo)函數(shù),根據(jù)p(x)導(dǎo)函數(shù)的正負,判斷p(x)的增減性,進而得到p(x)小于0,且得到h(x)導(dǎo)函數(shù)的正負,得到h(x)的增減性,利用函數(shù)的增減性即可得證;
解答:解:(I)log2(2x-x2+4)>0,即2x-x2+4>1得函數(shù)f(x)的定義域是(-1,3),
(II)g(x)=F(1,log2(x2+ax2+bx+1))=x3+ax2+bx+1,
設(shè)曲線C2在x0(-4<x<-1)處有斜率為-8的切線,
又由題設(shè)log2(x3+ax2+bx+1)>0,g'(x)=3x2+2ax+b,
∴存在實數(shù)b使得
3x02+2ax0+b=-8①
-4<x0<-1②
x03+ax02+bx0+1>1③
有解,
由①得b=-8-3
x
2
0
-2ax0
,代入③得-2
x
2
0
-ax0-8<0
,
2
x
2
0
+ax0+8>0
-4<x0<-1
有解,
a<2(-x0)+
8
(-x0)
,因為-4<x0<-1,所以2(-x0)+
8
(-x0)
∈[8,10)
,
當a<10時,存在實數(shù)b,使得曲線C在x0(-4<x0<-1)處有斜率為-8的切線.
(III)令h(x)=
ln(1+x)
x
,x≥1,由h′(x)=
x
1+x
-ln(1+x)
x2
,
又令p(x)=
x
1+x
-ln(1+x),x>0
,∴p′(x)=
1
(1+x)2
-
1
1+x
=
-x
(1+x)2
<0
,
∴p(x)在[0,+∞)單調(diào)遞減.∴當x>0時有p(x)<p(0)=0,∴當x≥1時有h'(x)<0,∴h(x)在[1,+∞)單調(diào)遞減,
1≤x<y時,有
ln(1+x)
x
ln(1+y)
y
,∴yln(1+x)>xln(1+y),
∴(1+x)y>(1+y)x
∴當x,y∈N*且x<y時,F(xiàn)(x,y)>F(y,x).
點評:此題考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率,會根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負確定函數(shù)的單調(diào)性,考查學(xué)生對新問題的分析解決能力.
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已知M是△ABC內(nèi)的一點(不含邊界),且
AB
AC
=2
3
,∠BAC=30°,若△MBC,△MCA和△MAB的面積分別為x,y,z.
(1)x+y+z=
 

(2)定義f(x,y,z)=
1
x
+
4
y
+
9
z
,則f(x,y,z)的最小值是
 

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定義F(x,y)=(1+x)y,x,y∈(0,+∞),令函數(shù)f(x)=F(1,log2(x2-4x+9))的圖象為曲線C,曲線C與y軸交于點A(0,m),過坐標原點O向曲線C作切線,切點為B(n,t)(n>0),設(shè)曲線C在點A、B之間的曲線段與線段OA、OB所圍成圖形的面積為S,求S的值.

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定義F(x,y)=(1+x)y,x,y∈(0,+∞),
(1)令函數(shù)g(x)=F(1,log2(x3+ax2+bx+1))的圖象為曲線C,若存在實數(shù)b使得曲線C在x0(-4<x0<-1)處有斜率為-8的切線,求實數(shù)a的取值范圍
(2)當x,y∈N*且x<y時,證明F(x,y)>F(y,x).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2007•汕頭二模)定義F(x,y)=(1+x)y,x,y∈(0,+∞),
(Ⅰ)令函數(shù)f(x)=F(1,log2(x2-4x+9))的圖象為曲線C1,曲線C1與y軸交于點A(0,m),過坐標原點O向曲線C1作切線,切點為B(n,t)(n>0),設(shè)曲線C1在點A、B之間的曲線段與線段OA、OB所圍成圖形的面積為S,求S的值;
(Ⅱ)令函數(shù)g(x)=F(1,log2(x3+ax2+bx+1))的圖象為曲線C2,若存在實數(shù)b使得曲線C2在x0(-4<x0<-1)處有斜率為-8的切線,求實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)當x,y∈N*且x<y時,證明F(x,y)>F(y,x).

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