已知橢圓的中心是坐標原點，焦點在軸上，離心率為，又橢圓上任一點到兩焦點的距離和為．過右焦點與軸不垂直的直線交橢圓于，兩點。

（1）求橢圓的方程；

（2）在線段上是否存在點,使得？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.

 

【答案】

（1）     （2） 

【解析】本試題主要是考查了橢圓的方程的求解，以及直線與橢圓的位置關系的運用，中點公式的綜合運用。

（1）利用橢圓的離心率和長軸長，得到參數(shù)a,b,c的關系式，然后求解得到橢圓

（2）利用直線方程與橢圓聯(lián)立方程組，那么可以得到韋達定理，結合中點坐標公式求解得到參數(shù)的關系式，進而借助于函數(shù)的思想求解范圍，

解：（1）因為離心率為，故橢圓的方程為：…5分

（2）若與軸重合時，顯然與原點重合，合條件

若直線的斜率，則可設，設則：

所以化簡得：；

的中點橫坐標為：，代入可得：

的中點為，由于得到

所以： 綜合（1）（2）得到：

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的中心是坐標原點O，它的短軸長為2，右焦點為F，直線l：x=2與x軸相交于點E，
FE
=
OF
，過點F的直線與橢圓相交于A，B兩點，點C和點D在l上，且AD∥BC∥x軸．
（Ⅰ）求橢圓的方程及離心率；
（Ⅱ）求證：直線AC經過線段EF的中點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的中心是坐標原點O，它的短軸長為2，右焦點為F，右準線l與x軸相交于點E，
FE
=
OF
，過點F的直線與橢圓相交于A，B兩點，點C和點D在l上，且AD∥BC∥x軸．
（I）求橢圓的方程及離心率；
（II）當|BC|=
1
3
|AD|時，求直線AB的方程；
（III）求證：直線AC經過線段EF的中點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的中心是坐標原點O，焦點在x軸上，離心率為
2
2
，又橢圓上任一點到兩焦點的距離和為2
2
，過點M（0，-
1
3
）與x軸不垂直的直線l交橢圓于P、Q兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）在y軸上是否存在定點N，使以PQ為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出N的坐標，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•天津模擬）已知橢圓的中心是坐標原點O，焦點在x軸上，短軸長為2，且兩個焦點和短軸的兩個端點恰為一個正方形的頂點．過右焦點F與x軸不垂直的直線l交橢圓于P，Q兩點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）在線段OF上是否存在點M（m，0），使得|MP|=|MQ|？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：2013屆河北省高二上學期期中理科數(shù)學試卷 題型：解答題

已知橢圓的中心是坐標原點，焦點在坐標軸上，且橢圓過點三點.

(1)求橢圓的方程；

(2)若點為橢圓上不同于的任意一點，,求內切圓的面積的最大值，并指出其內切圓圓心的坐標.

 

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