Question

在平面直角坐標系中，已知點A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα）．
（1）若|

AC

|=|

BC

|，且α∈（0，π），求角α的值；
（2）若

AC

•

BC

=

1

3

，求

2sin2α+sin2α

1+tanα

的值．

Answer 1

考點：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用,平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角

專題：三角函數(shù)的求值,平面向量及應用

分析：（1）求得

AC

 和

BC

的坐標，再根據(jù) |

AC

|=|

BC

|以及α∈（0，π），求得tanα 的值可得α 的值．
（2）由

AC

•

BC

=

1

3

，求得 sinα+cosα=

1

3

，平方可得2sinαcosα=-

8

9

，再根據(jù)

2sin2α+sin2α

1+tanα

=2sinαcosα，求得結(jié)果．

解答： 解：（1）由題意可得

AC

=（cosα-2，sinα），

BC

=（cosα，sinα-2），
∵|

AC

|=|

BC

|，∴（cosα-2）²+sin²α=cos²α+（sinα-2）²，且α∈（0，π）．
整理可得tanα=1，α=

π

4

．
（2）若

AC

•

BC

=

1

3

，則 （cosα-2）cosα+sinα（sinα-2）=

1

3

，
化簡得 sinα+cosα=

1

3

，平方可得 1+2sinαcosα=

1

9

，2sinαcosα=-

8

9

，
∴

2sin2α+sin2α

1+tanα

=

2sinα(sinα+cosα)

sinα+cosα cosα

=2sinαcosα=-

8

9

．

點評：本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩個向量的數(shù)量積公式的應用，屬于中檔題．