Question

某機床廠今年年初用98萬元購進(jìn)一臺數(shù)控機床，并立即投入生產(chǎn)使用，計劃第一年維修、保養(yǎng)費用12萬元，從第二年開始，每年所需維修、保養(yǎng)費用比上一年增加4萬元，該機床使用后，每年的總收入為50萬元，設(shè)使用x年后數(shù)控機床的盈利額為y萬元．
（Ⅰ）寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）從第幾年開始，該機床開始盈利（盈利額為正值）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）第x年所需維修、保養(yǎng)費用為12+4（x-1），故y與x之間的函數(shù)關(guān)系為y=50x-

(12+4x+8)x

2

-98x∈N₊．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知當(dāng)y＞0時，開始盈利，解不等式-2x²+40x-98＞0求得x的范圍，從而得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）第二年所需維修、保養(yǎng)費用為12+4萬元，
第x年所需維修、保養(yǎng)費用為12+4（x-1）=4x+8，（3分）
維修、保養(yǎng)費用成等差數(shù)列遞增，依題得：
y=50x-

(12+4x+8)x

2

-98=-2x2+40x-98（x∈N₊）．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知當(dāng)y＞0時，開始盈利，（8分）
解不等式-2x²+40x-98＞0，
得10-

51

＜x＜10+

51

．（10分）
∵x∈N₊，
∴3≤x≤17，故從第3年開始盈利．（12分）

點評：本題主要考查等差數(shù)列的通項公式，前n項和公式的應(yīng)用，二次函數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．