Question

11．已知橢圓G：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．過(guò)點(diǎn)（m，0）作圓x²+y²=1的切線l交橢圓G于A，B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）將|AB|表示為m的函數(shù)，并求|AB|的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓G：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．直接求解即可．
（2）由題意推出|m|≥1．通過(guò)當(dāng)m=1時(shí)，求出|AB|=$\sqrt{3}$；當(dāng)m=-1時(shí)，|AB|=$\sqrt{3}$；當(dāng)|m|＞1時(shí)，設(shè)切線方程為y=k（x-m），聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理弦長(zhǎng)公式以及圓的圓心到直線的距離等于半徑，轉(zhuǎn)化求解|AB|，利用基本不等式求出最值即可．

解答 （本題12分）
解：（1）由已知橢圓G：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．得a=2，b=1，∴c=$\sqrt{3}$，
∴橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（$-\sqrt{3}，0$），（$\sqrt{3}，0$）．
（2）由題意橢圓G：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．過(guò)點(diǎn)（m，0）作圓x²+y²=1的切線l交橢圓G于A，B兩點(diǎn)．
知，|m|≥1．
當(dāng)m=1時(shí)，切線l的方程為x=1，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）（1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），此時(shí)|AB|=$\sqrt{3}$；
當(dāng)m=-1時(shí)，同理可得|AB|=$\sqrt{3}$；
當(dāng)|m|＞1時(shí)，設(shè)切線方程為y=k（x-m），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-m）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$得（1+4k²）x²-8k²mx+4k²m²-4=0．
設(shè)A，B兩點(diǎn)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}m}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
又由l于圓x²+y²=1相切，得$\frac{|km|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=1$，即m²k²=k²+1．
所以|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（\frac{8{k}^{2}m}{1+4{k}^{2}}）^{2}-4×\frac{4{k}^{2}{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}}$=$\frac{4\sqrt{3}|m|}{{m}^{2}+3}$，
由于當(dāng)m=±1時(shí)，|AB|=$\sqrt{3}$，
所以|AB|=$\frac{4\sqrt{3}|m|}{{m}^{2}+3}$，m∈（-∞，-1]∪[1，+∞）．
因?yàn)閨AB|=$\frac{4\sqrt{3}|m|}{{m}^{2}+3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{|m|+\frac{3}{|m|}}≤2$，當(dāng)且僅當(dāng)m=$±\sqrt{3}$時(shí)，|AB|=2，所以|AB|的最大值為2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，圓錐曲線的最值問(wèn)題的處理方法，考查設(shè)而不求，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．